Semaine 7 – objectif 1 : une preuve P2 avec A9-A11-A12

Au chapitre P2, nous avons introduit la loi exponentielle \boxed{\mathscr{E}\left(\lambda\right)}, de fonction densité f : f(t)=\lambda \text{e}^{-\lambda t} sur \mathbb{R}^{+} avec \lambda >0.

Nous avons affirmé (et utilisé) la propriété : son espérance est \boxed{E(X)=\dfrac{1}{\lambda}.}

Démontrons la maintenant que nous savons mieux gérer intégrales et primitives.

Rappel : une loi de densité f sur un intervalle I a pour espérance E(X)=\displaystyle \int_I t~ f(t)~\text{d}t. (Cours P2)

Ici, I=\mathbb{R}^{+}, et on va déterminer E(X)=\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \int_0^{x} t~ f(t)~\text{d}t.

Preuve dans le détail :

  1. On cherche une primitive G : G(t)=(at+b)\text{e}^{-\lambda t} de t \mapsto t~ f(t) = \lambda t \text{e}^{-\lambda t} sur \mathbb{R}^{+}a et b sont des réels à déterminer. Pour cela :
    • calculer G'(t) sur \mathbb{R}^{+},
    • puisque G'(t) = t~f(t) sur \mathbb{R}^{+}, en déduire un système d’équations puis déterminer a et b.
  2. On a donc G : G(t)=\left(-t - \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{-\lambda t} primitive de t \mapsto t~ f(t) sur \mathbb{R}^{+}.
    • Déterminer \displaystyle \int_0^{x} t~ f(t)~\text{d}t.
    • En déduire \boxed{E(X)=\dfrac{1}{\lambda}.}

Notes des élèves (merci) :

compil0compil1compil2acompil2bcompil2ccompil3compil4compil5compil6

Lois normales P3 (3)

Corrections :

  • P2 – Lois exponentielles
    • Correction des exercices 15 à 19 pages 416-417.
  • P3 – lois Normales
    • Exercice 31 page 418 dont la dernière question est « inversée ».
    • Exercices 32 et 33 page 419 où l’on découvre un …

P3 – Lois Normales – Savoir-faire :

  • Centrer et réduire pour trouver \mu ou \sigma.

Les tableaux du jour

Exercice 59 page 424, 67 page 425 pour mardi 17.

Lire la suite

Cours P2 – Lois continues

I. Loi à densité sur un intervalle, généralités

II. Loi uniforme uniforme \boxed{\mathscr{U}\left([a~;~b]\right)}

de fonction densité f : f(t)=\dfrac{1}{b-a} sur [a~;~b],

d’espérance \boxed{E(X)=\dfrac{a+b}{2}.}

Exercice.

III. Loi exponentielle \boxed{\mathscr{E}\left(\lambda\right)},

de fonction densité f : f(t)=\lambda \text{e}^{-\lambda t} sur \mathbb{R}^{+} avec \lambda >0,

d’espérance \boxed{E(X)=\dfrac{1}{\lambda}.}

C’est la loi à durée de vie sans vieillissement.

Exercices.

Le cours complet P2, de ce jour, plus activité de la veille, plus complément en TP :

Correction détaillée puis vers la loi exponentielle

Synthèse analyse A4 – A7

Correction de l’exercice 93 page 191 pour aujourd’hui, avec moult détails et parenthèses :

Reprise P2

  • reprise sur la loi uniforme vue la veille,
  • introduction rapide de la notion de fonction densité pur une loi continue,
  • exemple de la fonction densité f(t)=\lambda \text{e}^{-\lambda t} sur \mathbb{R}^{+} avec \lambda >0 :cm 2020-02-05 TS1 lois exponentielles