A6 – théorèmes de convergence monotone

Rendu du dernier petit test.

Commentaires sur l’exercice 2 : on avait fait l’exercice 32 page 282, par exemple (page 2 de ce tableau) et ce que j’ai lu est assez mauvais 😦

On considère dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé A(-1), B(3+4\text{i}) et C tel que z_C=\overline{z_B}.

cm 2020-01-16 TS dessin exercice 2 G1 contrôle

Déterminer l’affixe du point D tel que ABDC soit un parallélogramme.

\triangleright Le point D vérifie \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB} donc :
z_{\overrightarrow{CD}}=z_{\overrightarrow{AB}}
\Leftrightarrow z_D-z_C=z_B-z_A
\Leftrightarrow z_D=z_B-z_A+z_C
\Leftrightarrow z_D=3+4\text{i}-(-1)+3-4\text{i}
\Leftrightarrow \boxed{z_D=7}
Donc \boxed{D~(7)}

Montrer que ABDC est un carré.

\triangleright On sait que ABDC est déjà un parallélogramme.
On peut montrer comme je l’ai fait dans le corrigé que les diagonales sont de même longueur (donc rectangle) et perpendiculaires (donc losange).

Mais on pouvait aussi faire facilement sans le point D :
\overrightarrow{AB}\left(z_B-z_A\right) donc \overrightarrow{AB}\left(4+4\text{i}\right) soit \overrightarrow{AB}\left(4~;~4\right) d’une part,
\overrightarrow{AC}\left(z_C-z_A\right) donc \overrightarrow{AC}\left(4-4\text{i}\right) soit \overrightarrow{AC}\left(4~;~-4\right) d’autre part,
donc \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 4 + 4 \times (-4) = 16-16=0.
donc \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux et ABDC est un parallélogramme avec un angle droit donc un rectangle.
Par ailleurs AB = |4+4\text{i}|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2},
et AC = |4-4\text{i}|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}.
Donc ABDC est un parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux donc un losange.
Au final, ABDC est un rectangle et un losange : c’est bien un carré.


Flash G3 : sections avec des pyramides

Exercices 15 et 16 page 321, où l’on utilise aussi le théorème du toit :

Finitions G3 :

Retour sur les exercices de la veille terminés ici :


A6 – Théorèmes de convergence monotone

Définitions :

  • Suites croissantes, décroissantes, rappels.
  • Suite
    • majorée ou minorée,
    • majorée et minorée donc bornée.

Propriétés :

  • Toute suite croissante est minorée par son premier terme.
  • Toute suite décroissante est majorée par son premier terme.
  • Toute suite croissante convergente est majorée par sa limite.
    • Preuve.
  • Toute suite décroissante convergente est minorée par sa limite.
  • Toute suite croissante non majorée diverge vers +\infty.
    • Preuve.

et surtout :

  • Toute suite croissante majorée converge.

  • Toute suite décroissante minorée converge.

Exemple d’application et de recherche de limite :

Lors du dernier contrôle commun, on a défini :

  • f la fonction définie sur ]-4~;~+\infty[ par f(x) = \dfrac{2 + 3x}{4 + x},
  • la suite \left(u_n\right) définie par \left\lbrace\begin{array}{l}u_0 = 3 \\ u_{n+1} = f\left(u_n\right) \text{ pour tout entier naturel } n.\end{array}\right.

On admet que cette suite est bien définie.

Pour mardi : construire les premiers termes de \left(u_n\right) sur l’axe des abscisses, et écrire un algorithme donnant les 10 premiers termes.

On a montré lors du dernier contrôle commun que pour tout entier naturel n, 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3.

Que peut-on en déduire pour la suite (u_n) ?

  • Elle est décroissante puisque pour tout entier naturel n, u_{n+1} \leqslant u_n .
  • Elle est minorée puisque pour tout entier naturel n, u_n \geqslant 1.
  • Donc elle converge puisque toute suite décroissante minorée converge.

Soit \ell sa limite. Comment déterminer \ell ? On verra mardi !

Le tableau du jour :

Exercices – orthogonalité dans l’espace

Échauffement A5 « par comparaison » et/ou « par composition »


G3 – Exercices – orthogonalité dans l’espace

Correction des exercices 12 à 16 page 350.

G3 – Orthogonalité

  • Comment montrer que des droites sont orthogonales ?
  • Comment montrer qu’une droite et qu’un plan sont orthogonales ?
    • Que peut-on en déduire ?
  • Plan médiateur
  • Exemple de la diagonale (EC) du cube ABCDEFGH et du plan (DBG)
  • Le tableau du jour :
  • Exercices 12 à 16 page 350 pour mardi.

Dernière demi-heure, test :
→ G1 droites, cercles, nature de quadrilatères
→ A4 et dérivée de exp(u)
→ G3 une section

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