Semaine 6 – objectif 1 : G1 et G2

Complexes : calculs et géométrie

  • Des questions sur les exercices de la semaine dernière ?
  • Un exercice pour se mettre d’accord aujourd’hui :
    1. a. Résoudre l’équation z^2-2z+4=0 dans \mathbb{C}.
      On notera z_B la solution de partie imaginaire positive et z_C l’autre.
      b. Déterminer la forme exponentielle de z_B et en déduire celle de z_C.
    2. Placer B et C d’affixes respectives z_B et z_C ainsi que A~(-2) dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé.
    3. Calculer \dfrac{z_B+2}{z_C+2} et en déduire la nature de ABC.
    4. a. Déterminer a et b réels tels que z^3+8=(z+2)(z^2+az+b).
      b. Quelles sont alors les racines cubiques de (-8) dans \mathbb{C} ?
      c. Quelle est la disposition des points les ayant pour affixe ?

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Test par groupes aléatoires n°1

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L’union fait la force 😉

Ce test plutôt collaboratif a porté sur

  • 91 page 190 (à préparer pour ce jour),
  • 95 page 191,
  • QCM Complexes : questions 1, 2 et 5 page 300.

Sujet :

Proposition de corrigé (extraits de copies annotés) :

 

A6 – théorèmes de convergence monotone

Rendu du dernier petit test.

Commentaires sur l’exercice 2 : on avait fait l’exercice 32 page 282, par exemple (page 2 de ce tableau) et ce que j’ai lu est assez mauvais 😦

On considère dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé A(-1), B(3+4\text{i}) et C tel que z_C=\overline{z_B}.

cm 2020-01-16 TS dessin exercice 2 G1 contrôle

Déterminer l’affixe du point D tel que ABDC soit un parallélogramme.

\triangleright Le point D vérifie \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB} donc :
z_{\overrightarrow{CD}}=z_{\overrightarrow{AB}}
\Leftrightarrow z_D-z_C=z_B-z_A
\Leftrightarrow z_D=z_B-z_A+z_C
\Leftrightarrow z_D=3+4\text{i}-(-1)+3-4\text{i}
\Leftrightarrow \boxed{z_D=7}
Donc \boxed{D~(7)}

Montrer que ABDC est un carré.

\triangleright On sait que ABDC est déjà un parallélogramme.
On peut montrer comme je l’ai fait dans le corrigé que les diagonales sont de même longueur (donc rectangle) et perpendiculaires (donc losange).

Mais on pouvait aussi faire facilement sans le point D :
\overrightarrow{AB}\left(z_B-z_A\right) donc \overrightarrow{AB}\left(4+4\text{i}\right) soit \overrightarrow{AB}\left(4~;~4\right) d’une part,
\overrightarrow{AC}\left(z_C-z_A\right) donc \overrightarrow{AC}\left(4-4\text{i}\right) soit \overrightarrow{AC}\left(4~;~-4\right) d’autre part,
donc \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 4 + 4 \times (-4) = 16-16=0.
donc \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux et ABDC est un parallélogramme avec un angle droit donc un rectangle.
Par ailleurs AB = |4+4\text{i}|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2},
et AC = |4-4\text{i}|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}.
Donc ABDC est un parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux donc un losange.
Au final, ABDC est un rectangle et un losange : c’est bien un carré.


Flash G3 : sections avec des pyramides

Exercices 15 et 16 page 321, où l’on utilise aussi le théorème du toit :

Finitions G3 :

Retour sur les exercices de la veille terminés ici :


A6 – Théorèmes de convergence monotone

Définitions :

  • Suites croissantes, décroissantes, rappels.
  • Suite
    • majorée ou minorée,
    • majorée et minorée donc bornée.

Propriétés :

  • Toute suite croissante est minorée par son premier terme.
  • Toute suite décroissante est majorée par son premier terme.
  • Toute suite croissante convergente est majorée par sa limite.
    • Preuve.
  • Toute suite décroissante convergente est minorée par sa limite.
  • Toute suite croissante non majorée diverge vers +\infty.
    • Preuve.

et surtout :

  • Toute suite croissante majorée converge.

  • Toute suite décroissante minorée converge.

Exemple d’application et de recherche de limite :

Lors du dernier contrôle commun, on a défini :

  • f la fonction définie sur ]-4~;~+\infty[ par f(x) = \dfrac{2 + 3x}{4 + x},
  • la suite \left(u_n\right) définie par \left\lbrace\begin{array}{l}u_0 = 3 \\ u_{n+1} = f\left(u_n\right) \text{ pour tout entier naturel } n.\end{array}\right.

On admet que cette suite est bien définie.

Pour mardi : construire les premiers termes de \left(u_n\right) sur l’axe des abscisses, et écrire un algorithme donnant les 10 premiers termes.

On a montré lors du dernier contrôle commun que pour tout entier naturel n, 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3.

Que peut-on en déduire pour la suite (u_n) ?

  • Elle est décroissante puisque pour tout entier naturel n, u_{n+1} \leqslant u_n .
  • Elle est minorée puisque pour tout entier naturel n, u_n \geqslant 1.
  • Donc elle converge puisque toute suite décroissante minorée converge.

Soit \ell sa limite. Comment déterminer \ell ? On verra mardi !

Le tableau du jour :