Allumons la lumière !

2020-06-15 16-09-02

Le sujet :

Un corrigé et des bonus :

Le tout ici :

A travailler ! Courage !

Première application de ln : résolution d’inéquations avec l’inconnue à l’exposant

On se base sur l’exercice 42 😀 page 121, qu’on prolonge !

cm 2020-03-20 TS1 A8 Exos ln pour les suites - 42 page 121 autrementcm 2020-03-20 TS1 A8 Exos ln pour les suites - 42 page 121 autrement 2cm 2020-03-20 TS1 A8 Exos ln pour les suites - 42 page 121 autrement 3

Conclusion : quel choix pour le bac ?

Ça dépend de votre niveau, ou du sujet, des réponses ci-dessous.

Un petit exercice pour se rassurer ?

Ouuuiiii ! Un exercice au bac ES l’an dernier, 45 minutes en TES, une petite demi-heure pour vous !

cm 2020-03-21 TS1 A8 et A2 ex bac ES 2019

Corrigé le 24 mars :

cm 2020-03-21 TS1 A8 et A2 correction ex bac ES 2019

Correction du DM 10

Bonsoir, je publie ici la correction du DM 10 version pdf :

Et le commentaire audio :

Le code de l’algorithme utilisé en python :

from math import exp

def f(x):
    return (20*x + 10) * exp(-x / 2)

def quart_d_heure():
    n = 0
    while abs(f((n + 1) / 4) - f(n / 4)) >= 0.1:
        n = n + 1
    return n
>>> quart_d_heure()
44
>>>
  • Ce mardi matin aussi les corrigés des exercices sur la loi normale.
  • Ce mardi après-midi 14h30 « chat » sur discord pour les questions (voir Mathis si vous n’êtes pas connectés à cette application / ce logiciel.) ( merci Mathis).

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AP : sommes de Riemann

Des questions sur l’exercice donné mercredi pour mercredi ?

TP : des sommes de Riemann aux intégrales

Réaliser une fonction python qui, à un entier n \geqslant 2 envoyé en paramètre, associe la somme des aires des rectangles ainsi construits sous la courbe de la fonction inverse sur l’intervalle [1~;~2] :

cm 2020-02-03 Sommes de Riemann et ln2

Pour n = 2 la somme vaut 0.5833333333333333
Pour n = 3 la somme vaut 0.6166666666666668
Pour n = 4 la somme vaut 0.6345238095238095
>>>

On parle de sommes de Riemann.

On pourra commencer par retrouver les trois résultats ci-dessus « à la main » pour comprendre le principe.

Fini ? Comparer les résultats obtenus avec la méthode de Monté-Carlo.

Bilan de cette séance (et introduction à la notation pour les intégrales) demain.

TP algo – méthode de Monté-Carlo

On veut dans ce TP estimer l’aire délimitée par la courbe de la Perle de Sluse déjà étudiée en DM n°6 dans le cadre de l’étude de la dérivabilité de

\boxed{f:x \mapsto f(x)=\sqrt{x(10-x)^3} \text{ sur } \left[0~;~10\right].}

En comptant les (gros) carreaux sur la figure ci-dessous, quel encadrement obtient-on ?

cm 2019-10-15 DM6 A3 perle de Sluse

Méthode de Monté-Carlo

cm 2020-01-07 et 2020-01-14 - TS1 - TP Monté Carlo

Il s’agit de « tirer » un certain nombre N de points au hasard dans le rectangle \mathscr{R} délimité par \mathscr{R} : \left\lbrace\begin{array}{l}0 \leqslant x \leqslant 10\\0 \leqslant y \leqslant 40\end{array}\right. et de compter ceux (en rouge) qui sont au dessous de la courbe (en vert) et ne pas compter ceux qui sont au dessus (en bleu).

Si le nombre de points comptés (en rouge) est noté R, la fréquence f=\dfrac{R}{N} va tendre, quand N tend vers l’infini, vers la probabilité théorique que le point soit rouge d’après la loi des grands nombres.

Puisque le rectangle \mathscr{R} a une aire de 10 \times 40 = 400 ~~u.a. (unités d’aires), l’aire occupée par les points rouge est d’approximativement f \times 400.

Télécharger le fichier geometrie.py dans un dossier personnel de votre choix.

Commencer un autre programme python enregistré dans le même dossier que geometrie.py par :

from geometrie import *
from random import random
from math import sqrt

def f(x):
    return sqrt(x * (10 - x) ** 3)

Rep=Repere(0, 10, 1, 0, 40, 5, axe='oui', grille='oui')
Rep.trace_point(2, f(2), 5, "green")

Comprendre déjà ce que fait ce programme.

La fonction random() renvoie un nombre pseudo-aléatoire entre zéro et un.

Compléter ce programme pour qu’il fasse 10000 « tirages » de points et évalue la fréquence de points « rouges », puis l’aire :

L'aire vaut à peu près 197.8 u.a.
>>>

Notre Perle de Sluse délimite alors une aire d’environ 2 \times 197,8 = 395,6~~u.a. 😀

Augmenter le nombre de tirages pour une approximation plus précise.

Comparer avec le résultat de Xcas : \boxed{\mathscr{A}_{Perle~~de~~Sluse} = 125\pi \simeq 392,699081699}

f(x):=sqrt(x*(10-x)^3)
simplifier(2*int(f(x),x,0,10))
evalf(2*int(f(x),x,0,10))

Nous comprendrons mieux ces commandes dans le chapitre A10 – Calcul Intégral.

A4 – approximations de e – quelques mots sur ln et exercices

Retour sur l’approximation de \boxed{\text{e} \simeq 2,718} à l’aide de la formule (voir dernier exercice de la feuille de M. Gasser) :

\boxed{\text{e} = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n.}

Comparaison de la vitesse de convergence avec les approximations grâce à :

\boxed{\text{e} = \displaystyle \lim_{N \to +\infty} \sum_{n=0}^{n=N} \dfrac{1}{n!}}n! = \displaystyle \prod_{k=1}^{n} k = 1 \times 2 \times \cdots \times (n-1) \times n.

 

from math import exp

def approx_e(k) :
    n = 1
    u = 1
    while exp(1) - u > 10 ** -k:
        n += 1
        u = (1 + 1/n)**n
    print(n , u)

def approx_e2(k) :
    n = 0
    f = 1
    u = 1
    
    while exp(1) - u > 10 ** -k:
        n += 1
        f *= n
        u += 1/f
    print(n , u)

approx_e(6)

approx_e2(6)
1358611 2.7182808284601396
9 2.7182815255731922
>>> 

Corrections des exercices 25 à 38 pp 80-81 chacun à son rythme à l’aide des corrigés ci-dessous :

A cette occasion, quelques mots sur \ln(a) \text{ ou } \ln a, a>0 :

\boxed{\ln(a) \text{ est la solution unique de } \text{e}^x=a, a>0.}

Ainsi :

  • \ln 1 = 0
  • \ln e = 1
  • \ln 2 \simeq 0,69 \text{ tel que } \text{e}^{\ln 2} = 2
  • \ln a \text{ est tel que } \text{e}^{\ln a} = a~~\forall a > 0

cm 2019-12-11 - TS1 - A4 ln(b)

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