Test par groupes aléatoires n°1

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L’union fait la force 😉

Ce test plutôt collaboratif a porté sur

  • 91 page 190 (à préparer pour ce jour),
  • 95 page 191,
  • QCM Complexes : questions 1, 2 et 5 page 300.

Sujet :

Proposition de corrigé (extraits de copies annotés) :

 

Exercices – orthogonalité dans l’espace

Échauffement A5 « par comparaison » et/ou « par composition »


G3 – Exercices – orthogonalité dans l’espace

Correction des exercices 12 à 16 page 350.

Exercices « par comparaison »

Rendu du DM n°9. Quelques mots sur la préparation au concours général et sur le rallye maths du 4 mars, inscriptions auprès de votre prof de maths !


« Questions flash » liées au DM n°9:

  • montrer de deux manières que \boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1+\text{e}^{-x}\right)=1.}
    \triangleright On a \displaystyle \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r}\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (-x) = -\infty\\\displaystyle\lim_{X \to -\infty} \text{e}^X=0\\\end{array} \right\rbrace \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \text{e}^{-x} \underset{\text{par composition}}{= 0}\\ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} 1= 1 \end{array}\right\rbrace \boxed{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1+\text{e}^{-x}\right) \underset{\text{par somme}}{= 1.}}
    \triangleright Ou \displaystyle \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r}\displaystyle\lim_{x \to +\infty} ~1 = 1\\\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \text{e}^x=+\infty\\\end{array} \right\rbrace \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\text{e}^x} \underset{\text{par quotient}}{= 0}\\ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} 1= 1 \end{array}\right\rbrace \boxed{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{\text{e}^x} \right) \underset{\text{par somme}}{= 1.}}
  • Que peut-on en déduire pour la courbe de x \mapsto 1+\text{e}^{-x} ?
    \triangleright Elle admet une asymptote horizontale d’équation \boxed{y=1} au voisinage de +\infty.

Retour rapide sur le cours A5 puis exercices A5 :

Pour demain, exercice 41 page 183.

On corrigera également les exercices G3 qui sont à préparer depuis la semaine dernière.


Pour mercredi prochain, bilan suites et limites avec le « travail personnel » page 126.


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Bilan sur A5 – théorèmes de comparaison

Il s’agit de propriétés déjà abordées avec M. Gasser mais pas classées dans nos acquis de cours.

A5 – Théorèmes de comparaison

1. Avec des suites

Propriété 1 – « par comparaison » :

Soient deux suites \left(u_n\right) et \left(v_n\right) telles que u_n \leqslant v_n à partir d’un certain rang. Alors :

  • \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty \Rightarrow \displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n=+\infty par comparaison.
  • \displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n=-\infty \Rightarrow \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n=-\infty par comparaison.

Propriété 2 – théorème « des gendarmes » :

soient trois suites \left(u_n\right), \left(v_n\right) et \left(w_n\right) telles que u_n \leqslant v_n \leqslant w_n à partir d’un certain rang.

Alors si \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n=\displaystyle \lim_{n \to +\infty} w_n=\ell

alors \displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n=\ell

2. Avec des fonctions

Propriété 1 – « par comparaison » :

Soient deux fonctions f et g telles que f(x) \leqslant g(x) sur  un intervalle ]A~;~+\infty[. Alors :

  • \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty \Rightarrow \displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x)=+\infty par comparaison.
  • \displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x)=-\infty \Rightarrow \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty par comparaison.

Propriété 2 – « des gendarmes » :

Soient trois fonctions f, g et h telles que f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) sur  un intervalle ]A~;~+\infty[.

Alors si \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=\displaystyle \lim_{x \to +\infty} h(x)=\ell

alors \displaystyle \lim_{n \to +\infty} g(x) = \ell

Notez bien :

On a présenté ces résultats avec des limites en +\infty ~~\left(\lim_{x \to +\infty}\right) et donc avec un intervalle ]A~;~+\infty[.

Mais les même propriétés s’appliquent :

  • avec un intervalle ]-\infty~;~A[ pour des limites en -\infty ~~\left(\lim_{x \to -\infty}\right),
  • avec un intervalle ]\ell~;~A[ ou ]A~;~\ell[ pour des limites en \ell ~~\left(\lim_{x \to \ell}\right)

3. Exercices

On reprend ceux de la feuille du 29 novembre dernier avec M. Gasser :

cm 2020-01-13 TS1 A5 ex de feuille Jean-Luc