Test de synthèse de rattrapage

Il était facultatif.

Sujet :

Une copie amendée (merci Mathis) en guise de corrigé :

Une erreur collective du candidat et du correcteur s’est glissée page 7 :
\boxed{h'(x)=-3 \times (x + 6)^{-4} = -\dfrac{3}{(x+6)^4}} sur \mathbb{R} \setminus \left\lbrace -6 \right\rbrace ;
h n’est dérivable que sur ]-\infty~;~-6[ et sur ]-6~;~+\infty[.

Loi binomiale et digressions

G1 – Rendu des mini-tests de jeudi et commentaires.

cm 2019-11-07 TS1 petit test G1 équations de Romane (merci)


A3 – rendu du DM n°6 « Perle de Sluse » et commentaires.

cm 2019-11-12 TS1 re-bilan dérivabilité


P0 – loi binomiale – reprise du cours de jeudi

  • Reprise avec le QCM : le nombre de bonnes réponses et pourtant aléatoires à 9 questions pour lesquelles une seule proposition est exacte suit la loi binomiale de paramètres n=9 et p = \dfrac13 et on note X \sim \mathscr{B}(9~;~\dfrac13)
  • Modèle de rédaction :
    On a n=9 expériences successives identiques indépendantes à deux issues : succès avec la probabilité p=\dfrac13, échec avec la probabilité q=1-p=\dfrac23.
    Soit X le nombre de succès sur ces 9 expériences.
    Alors X suit une loi binomiale de paramètres n=9 et p=\dfrac13 et on a \boxed{p(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}} soit ici \boxed{p(X=k)=\binom{9}{k}\left(\dfrac13\right)^k\left(\dfrac23\right)^{9-k}} pour k entier naturel plus petit que n.
  • Les calculs peuvent se faire ainsi …
    • p(X=0)=\displaystyle\binom{9}{0}\left(\dfrac13\right)^0\left(\dfrac23\right)^{9}=\dfrac{512}{19683} \simeq 0,026 est la probabilité de ne pas avoir de bonne réponse ;
    • p(X=1)=\displaystyle\binom{9}{1}\left(\dfrac13\right)^1\left(\dfrac23\right)^{8}=\dfrac{256}{2187} \simeq 0,117 est la probabilité d’avoir une bonne réponse ;
    • p(X \leqslant 1) = p(X=0)+p(X=1) \simeq 0,143 est la probabilité d’avoir au plus une bonne réponse.
  • … mais en pratique ils sont implémentés dans la calculatrice :
      • Sur Casio,
        • BinomialPD(1,9,1/3) donne p(X=1)\simeq 0,117
        • BinomialCD(1,9,1/3) donne p(X \leqslant 1)\simeq 0,143.
      • Sur TI,
        • binomFDP(9,1/3,1) donne p(X=1)\simeq 0,117
        • binomFrép(9,1/3,1) donne p(X \leqslant 1)\simeq 0,143
      • Sur Numworks :
        cm 2019-11-12 TS1 numworks binomiale screenshotcm 2019-11-12 TS1 numworks binomiale screenshot(1)cm 2019-11-12 TS1 numworks binomiale screenshot(2)cm 2019-11-12 TS1 numworks binomiale screenshot(3)cm 2019-11-12 TS1 numworks binomiale screenshot(4)cm 2019-11-12 TS1 numworks binomiale screenshot(5)cm 2019-11-12 TS1 numworks binomiale screenshot(6)cm 2019-11-12 TS1 numworks binomiale screenshot(7)
      • Notez que le dernier écran où l’on a p (X \geqslant 2) \simeq 0,857 n’est pas évident à trouver ailleurs, mais on fait souvent p (X \geqslant 2) = 1 - p(X \leqslant 1) \simeq 1 - 0,143 \simeq 0,857.
      • On demande d’ailleurs souvent la probabilité de l’événement « au moins un succès », et il est habile de penser à l’événement contraire « aucun succès » et donc de calculer  p (X \geqslant 1) = 1 - p(X = 0) à l’aide de la calculatrice.
  • L’espérance de X, soit le nombre de succès moyen qu’on peut attendre sur un grand nombre de QCMs est \boxed{\text{E}(X)=np} soit ici \boxed{\text{E}(X)=9 \times \dfrac13 = 3}, ce qui semble somme toute logique.
  • La variance est \boxed{\text{V}(X)=npq} et l’écart-type \boxed{\sigma_X=\sqrt{\text{V}(X)}=\sqrt{npq}}

Digression : triangle de Pascal et binôme de Newton

(a+b)^0 = 1

(a+b)^1 = 1a+1b

(a+b)^2 = 1a^2+2ab+1b^2

(a+b)^3 = 1a^3+3a^2b+3ab^2+1b^3

(a+b)^4 = 1a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+1b^4

\boxed{(a+b)^n = \displaystyle \sum_{p=0}^{p=n} \binom{n}{p}a^pb^{n-p}.}

Application :

  • (2x +3)^3=(2x)^3+3\times (2x)^2\times 3 + 3 \times 2x \times 3^2 + 3^3
    Soit \boxed{(2x +3)^3=8x^3+36x^2+54x+27.}
  • (1 +\text{i})^4=1^4+4\times 1^3\times \text{i} +6\times 1^2\times \text{i}^2 +4\times 1\times \text{i}^3+ \text{i}^4
    donc (1 +\text{i})^4=1 + 4\text{i} -6 -4\text{i} + 1.
    Soit \boxed{(1 +\text{i})^4=-4.}

Le tableau du jour :

newton.aspx_

P0 – Loi binomiale

Test prévu – 26 minutes


A3 – Correction de l’exercice à préparer pour aujourd’hui :

En lien avec l’arbre de décision de la veille : cm 2019-11-06 TS1 A3 arbre de décision dérivabilité


P0 – Loi binomiale

Combinaisons

  • p \text{ parmi } n : \binom{n}{p}
  • \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1
  • \binom{n}{p} = 0 si p > n
  • Symétrie \binom{n}{n-p} = \binom{n}{p}
  • Formule de Pascal \binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p} pour n \geqslant 1 et p \geqslant 1.
  • Triangle de Pascal.

Loi binomiale : une variable aléatoire X \sim \mathscr{B}(n~;~p)

  • introduction avec le QCM
  • loi et p(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} pour k entier naturel plus petit que n
  • espérance \text{E}(X)=np

Le tableau du jour, sera repris :

En pratique, modèle de rédaction.

Binôme de Newton 🙂

G1 équations – A3 bilan dérivabilité

Question flash : retrouver les résultats de Xcas :

Reprise du cours G1 – résolution d’équations, entamé la veille :

  • Équations de degré supérieur :
    • exemple des racines cubiques de l’unité \left\lbrace 1~;~j~;~\overline{j}\right\rbrace, cm 2018-01-19 racines unité
    • solutions de z^3=1 dont les images dans le plan complexes forment un triangle équilatéral.

Application, retrouver ces résultats :

cm 2019-11-06 TS1 G1 applications cours équations


Le tableau G1 du jour sur les complexes :


Bilan A3 : dérivabilité, qu’attend-on  de moi ?

Sur un intervalle ? En une abscisse ? On établit un arbre de décision :

cm 2019-11-06 TS1 A3 arbre de décision dérivabilité

Pour demain, travailler ce test donné il y a deux ans :


Révision P1 avec espérance et A2 suite géométrique à faire pour mercredi prochain.

Le corrigé distribué le mercredi suivant (mise à jour du 13/11) :