De A11 à A12

Bonjour !

DM n°11 à rendre hier

  • Sujet et correction DM11 : là.
  • Vous recevrez des réponses individuelles pour celles et ceux qui ont rendu.

A8 – Petit pseudo-test ln – 30 minutes

A11 vers A10 puis A12 – Correction primitives et intégrales

cm 2020-03-27 TS1 exercices A11 corrigés

cm 2020-03-27 TS1 exercices A11 vers A12 corrigés 1

cm 2020-03-27 TS1 exercices A11 vers A12 corrigés 2

\displaystyle\int_1^2\left(2t+4\right)~\text{d}t = \left[t^2+4t\right]_1^2=\left(2^2+4\times2\right)-\left(1^2+4\times 1\right)=12-5=7

Xcas : int(2t+4,t,1,2) donne \boxed{7.}


\displaystyle\int_1^{\text{e}}\dfrac{1}{x}~\text{d}x = \left[\ln(x)\right]_1^{\text{e}}=\ln {\text{e}}-\ln 1=1-0=1

Xcas : int(1/x,x,1,e) donne \boxed{1.}


\displaystyle\int_0^1\left(-3t^2+6\right)~\text{d}t = \left[-3 \times \dfrac{t^3}{3}+6t\right]_0^1= \left[-t^3+6t\right]_0^1
=\left(-1^3+6\times1\right)-\left(-0^3+6\times 0\right)=-1+6-0=5

Xcas : int(-3*t^2+6,t,0,1) donne \boxed{5.}


\displaystyle\int_1^2\left(2x-\dfrac{3}{x+1}\right)~\text{d}x = \displaystyle\int_1^2\left(2x-\dfrac{3u'}{u}\right)~\text{d}x avec \left\lbrace\begin{array}{l}u=x+1>0 \text{ sur } [1~;~2]\\u'=1\end{array}\right.

= \left[x^2 - 3 \ln(u)\right]_1^2= \left[x^2-3\ln(x+1)\right]_1^2
=\left(2^2 - 3 \ln 3\right)-\left(1^2 - 3 \ln2\right)=4-3 \ln3 -1 +3\ln2
=3 + 3 \left(\ln2 - \ln3\right) = 3 \left(1 + \ln\dfrac23 \right) \simeq 1,784
Xcas : int(2x-3/(x+1),x,1,2) donne \boxed{-3 \ln3+4 +3\ln2 -1.}
Xcas : evalf(int(2x-3/(x+1),x,1,2)) donne \boxed{1.78360467568}
Xcas : simplifier(int(2x-3/(x+1),x,1,2)) donne \boxed{\ln\left(\dfrac{8\text{e}^3}{27}\right).}
En effet \displaystyle\int_1^2\left(2x-\dfrac{3}{x+1}\right)~\text{d}x =3 \left(1 + \ln\dfrac23 \right)
= 3\left(\ln \text{e} + \ln\dfrac23 \right) = 3 \ln\left(\text{e} \times \dfrac23\right)=\ln\left(\left(\dfrac{2\text{e}}{3}\right)^3\right)=\ln\left(\dfrac{8\text{e}^3}{27}\right).


\displaystyle\int_1^{2}\left(2\text{e}^x-5x\right)~\text{d}x = \left[2\text{e}^x-\dfrac{5x^2}{2}\right]_1^{2}
= \left(2\text{e}^2-\dfrac{5\times 2^2}{2}\right) - \left(2\text{e}^1-\dfrac{5\times 1^2}{2}\right)=2\text{e}^2-10-2\text{e}+\dfrac52
\boxed{\displaystyle\int_1^{2}\left(2\text{e}^x-5x\right)~\text{d}x = 2\text{e}^2-2\text{e}-7,5.}


On arrive au taquet du niveau escompté avec celle-ci, de niveau supérieur mais qui nécessitait une manipulation initiale !

I = \displaystyle\int_1^{\text{e}}\dfrac{2x}{x+2}~\text{d}x = \displaystyle\int_1^{\text{e}}\left(\dfrac{2x+4}{x+2} - \dfrac{4}{x+2}\right)~\text{d}x
= \displaystyle\int_1^{\text{e}}\left(\dfrac{2(x+2)}{x+2} - \dfrac{4}{x+2}\right)~\text{d}x= \displaystyle\int_1^{\text{e}}\left(2 - \dfrac{4}{x+2}\right)~\text{d}x
Donc I = \displaystyle\int_1^{\text{e}}\left(2 - \dfrac{4u'}{u}\right)~\text{d}x avec \left\lbrace\begin{array}{l}u=x+2>0 \text{ sur } [1~;~\text{e}]\\u'=1\end{array}\right.
Il vient I =\left[2x - 4 \ln(u)\right]_1^{\text{e}}= \left[2x-4\ln(x+2)\right]_1^{\text{e}}
D’où I=\left(2{\text{e}} - 4 \ln \left({\text{e}}+2\right)\right)-\left(2 \times 1 - 4 \ln\left(1+2\right)\right)
Enfin \boxed{I=4\ln \dfrac{3}{{\text{e}}+2} + 2{\text{e}} -2 \simeq 1,625}

Xcas : int(2x/(x+2),x,1,e) donne \boxed{2{\text{e}}-4 \ln\left({\text{e}}+2\right)+4\ln3 -2}
Xcas : evalf(int(2x/(x+2),x,1,e) ) donne \boxed{1.62523395586}


A12 – Calcul intégral

Le support de cours :

Travail à venir

Cours A10 – Calcul intégral – fonction continue et positive – lien avec les primitives

Du coup, retour sur la question flash de mercredi 4 mars :

Avec f(x) = \dfrac{x}{3} + 1 sur \mathbb{R} et positive sur [0~;~2] et F(x) = \dfrac{x^2}{6} + x sur \mathbb{R}, on vérifie que F'(x) = \dfrac{2x}{6} + 1 = f(x) sur \mathbb{R} donc F est bien une primitive de f sur \mathbb{R}.

Il vient \displaystyle \int_0^2 \left( \dfrac{x}{3} + 1 \right)~\text{d}x = F(2) - F(0) = \left(\dfrac{2^2}{6} + 2\right) - \left(\dfrac{0^2}{6} + 0\right) d’où  \boxed{\displaystyle \int_0^2 \left( \dfrac{x}{3} + 1 \right)~\text{d}x = \dfrac46 +2 - 0 =\dfrac83.}

Rédaction usuelle :

En pratique, on écrit la primitive dans un crochet, sans introduire de F pour calculer une telle intégrale :

\displaystyle \int_0^2 \left( \dfrac{x}{3} + 1 \right)~\text{d}x

\displaystyle=\left[ \dfrac{x^2}{6} + x\right]_0^2

=\left(\dfrac{2^2}{6} + 2\right) - \left(\dfrac{0^2}{6} + 0\right)

Donc \boxed{\displaystyle \int_0^2 \left( \dfrac{x}{3} + 1 \right)~\text{d}x =\dfrac83.}

 

Intégrale et tramway

Infos :

  • pas de contrôle ce jeudi,
  • pas de préparation au concours général demain.

A10 – Intégrale ?

On corrige l’algorithme de la veille :

cm 2020-02-03 Sommes de Riemann et ln2

def f(x) :
    return 1/x

def sommeRiemann(a, b, n):
    x = a
    somme = 0
    largeur = (b-a) / n
    for i in range(n):
        x = x + largeur
        hauteur = f(x)
        somme = somme + hauteur * largeur
    return somme

resultat = sommeRiemann(1, 2, 10000)
print(resultat)
=== RESTART: TS1 sommes de Riemann.py ===
0.693122181184967
>>> from math import log
>>> log(2)
0.6931471805599453
>>> 

Ces sommes de Riemann peuvent s’écrire

\displaystyle \sum_{k=1}^{k=n} f\left(1+\dfrac{k}{n}\right) \times \dfrac{1}{n} = \sum f(x) \Delta x

  • f est la fonction inverse,
  • x \in \left\lbrace 1+\dfrac{1}{n}, 1 +\dfrac{2}{n}, \cdots, 1 + \dfrac{n-1}{n}, 2\right\rbrace~ (les abscisses dont les images sont les hauteurs des rectangles),
  • \Delta x = \dfrac{1}{n}~ la largeur des rectangles.

Dans le cas de la fonction inverse, l’aire du domaine délimité par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=1 et x=2 s’appelle « intégrale de 1 à 2 de x \mapsto \dfrac{1}{x} » et est notée \displaystyle \int_1^2 \dfrac{1}{x} ~\text{d}x et cette intégrale vaut en fait \ln 2, ce que nous prouverons plus tard.

Bilan :

\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \displaystyle \sum_{k=1}^{k=n} f\left(1+\dfrac{k}{n}\right) \times \dfrac{1}{n} = \displaystyle \lim_{n \to +\infty}\sum f(x) \Delta x = \displaystyle \int_1^2 f(x) ~\text{d}x = \ln 2

On compare les aires obtenues avec ces sommes de Riemann avec celles de la méthode de Monté Carlo

cm 2020-02-04 TS1 Monté-Carlo ln2

from geometrie import *
from random import random
#from math import sqrt
 
def f(x):
    return 1 / x
 
def monte_carlo(a, b, y_min, y_max, N):
    Rep=Repere(a, b, 1, y_min, y_max, 1, axe='oui', grille='oui')

    largeur = b - a
    hauteur = y_max - y_min
    compteur = 0
    
    for i in range(N):
        x = a + random() * largeur
        y = y_min + random() * hauteur

        if y <= f(x): # point sous la courbe
            Rep.trace_point(x, y, 5, "blue")
            compteur = compteur + 1
        else: # point au dessus de la courbe
            Rep.trace_point(x, y, 5, "red")
        
        # la courbe de f pour le visuel
        Rep.trace_point(x, f(x), 5, "green")
       
    frequence = compteur / N
    aire_rectangle = largeur * hauteur
    return frequence * aire_rectangle

resultat = monte_carlo(1, 2, 0, 1, 10000)
print(resultat)
======= RESTART: TS1 Monté-Carlo.py =======
0.6971
>>> 

P2 – application aux lois continues de probabilités

  • Du discret au continu,
  • tramway et loi uniforme T \sim \mathcal{U} \left([0~;~7]\right).

cm 2020-02-04 TS1 loi uniforme et tramway

AP : sommes de Riemann

Des questions sur l’exercice donné mercredi pour mercredi ?

TP : des sommes de Riemann aux intégrales

Réaliser une fonction python qui, à un entier n \geqslant 2 envoyé en paramètre, associe la somme des aires des rectangles ainsi construits sous la courbe de la fonction inverse sur l’intervalle [1~;~2] :

cm 2020-02-03 Sommes de Riemann et ln2

Pour n = 2 la somme vaut 0.5833333333333333
Pour n = 3 la somme vaut 0.6166666666666668
Pour n = 4 la somme vaut 0.6345238095238095
>>>

On parle de sommes de Riemann.

On pourra commencer par retrouver les trois résultats ci-dessus « à la main » pour comprendre le principe.

Fini ? Comparer les résultats obtenus avec la méthode de Monté-Carlo.

Bilan de cette séance (et introduction à la notation pour les intégrales) demain.