Lois de probabilité

  • Retour sur la loi binomiale \boxed{X \sim \mathscr{B}(n,p)}
    • Conditions d’utilisation, rédaction « on a n=\cdots expériences successives identiques indépendantes à deux issues (schéma de Bernoulli) : succès avec la probabilité p=\cdots, échec avec la probabilité q=1-p=\cdots alors le nombre de succès X sur n expériences suit une loi \mathscr{B}(n,p) » et on a \boxed{p\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right) p^k q ^{n-k}.}.
    • p\left(X=k\right) à la calculatrice,
    • p\left(X \leqslant k\right) à la calculatrice,
    • \boxed{\mathbb{E}\left(X\right)=np},
    • V\left(X\right)=npq,
    • \sigma_X=\sqrt{npq}.
    • On a vu mardi que cette loi allait être « approximée » en terminale par une loi normale. cm 2019-05-21 Activité 3 pages 284-285 vers la loi normale
  • Lois continues :
    • introduction avec la loi uniforme \boxed{X \sim \mathscr{U}\left([a~;~b]\right)}, avec b > a
      • \boxed{p\left(X \in \left[\alpha~;~\beta\right]\right)=\dfrac{\beta-\alpha}{b-a}}
      • \boxed{\mathbb{E}\left(X\right)=\dfrac{a+b}{2}}
      • avec la densité f(t)=\dfrac{1}{b-a}, p\left(X \in \left[\alpha~;~\beta\right]\right)=\displaystyle \int_\alpha^\beta f(t)~\text{d}t
    • généralités sur les lois continues de densité f (fonction positive) d’intégrale qui vaut 1 sur tout l’intervalle,
      • \boxed{p\left(X \in \left[\alpha~;~\beta\right]\right)=\displaystyle \int_\alpha^\beta f(t)~\text{d}t}
      • p\left(X =\alpha\right)=\displaystyle \int_\alpha^\alpha f(t)~\text{d}t=0
  • deux exemples indispensables au bac :
      • loi exponentielle de paramètre \lambda>0 : \boxed{X \sim \mathscr{E}(\lambda).}cm 2019-05-21 Activité 2 pages 283-284 vers la loi exp
        • a pour densité f(t)=\lambda\text{e}^{-\lambda t},
        • \boxed{\mathbb{E}\left(X\right)=\dfrac{1}{\lambda}}
        • On a \boxed{p\left(X>x\right)=p\left(X\geqslant x\right)=\text{e}^{-\lambda x}}
        • \boxed{p\left(X<x\right)=p\left(X\leqslant x\right)=1-\text{e}^{-\lambda x}}cm 2019-05-23 TSTI2D loi exponentielle
        • C’est une loi à durée de vie sans vieillissement : la probabilité de « durer encore » un temps donné est la même à chaque instant de la vie.
      • loi normale de moyenne \mu et d’écart-type \sigma>0 : \boxed{X \sim \mathscr{N}\left(\mu~,~\sigma\right).}
        • Son espérance est \boxed{\mathbb{E}\left(X\right)=\mu}
        • et son écart-type est \sigma.cm 2019-05-23 TSTI2D loi normale 1.png
        • A retenir :cm 2019-05-23 TSTI2D loi normale 2
        • Le reste se calcule à la calculatrice !

     

  • Trois points de plus au bac Antilles-Guyane 2018 :
    • deux sur la loi exponentielle : cm 2019-05-23 TSTI2D loi exponentielle Antilles 2018
    • un sur la loi normale : cm 2019-05-23 TSTI2D loi normale Antilles 2018
    • Reste un point, que nous pourrons traiter mardi !

16 points au bac – Antilles-Guyane 2018 et DM de printemps corrigé

Correction du sujet donné le 9 mai dernier :

Et deux points de plus maintenant qu’on est passé maître dans l’art des complexes sous forme exponentielle :

Le sujet et le corrigé du DM de printemps rendu (merci encore à Fred) :

Équations différentielles (fin) – fonctions puissances et exponentielles de base a

Exercice 45 page 168, analyse

cm 2019-04-30 ex 45 page 168

  • Ramassage : il était à faire sur feuille pour mardi (six copies rendues…)
  • Éléments de correction : limites, avec ou sans croissances comparées, dérivée et signe, asymptote…

cm 2019-05-09 TSTI2D graphique ex45 p168

Équations différentielles :

Fonctions puissances et exponentielles de base a

  • Explications et à retenir :
    • Pour a >0, a^x=\left(\text{e}^{\ln a}\right)^x=\text{e}^{x\ln a} donc x \mapsto a^x se traite comme une fonction « \text{e}^u ». cm 2019-05-09 TSTI2D fonctions exponentielles
    • Pour x >0, x^\alpha=\left(\text{e}^{\ln x}\right)^\alpha=\text{e}^{\alpha\ln x} donc x \mapsto x^\alpha se traite comme une fonction « \text{e}^u » aussi.
  • Exercices 57 et 61 page 171

cm 2019-05-09 TSTI2D - x^alpha et a^x_1

Pendant ma semaine de congés, travailler ce sujet :

Je suis remplacé jeudi par Madame Wassong (merci).

TD équations différentielles

Plan du TD :

Détails et corrigés en cliquant sur « lire la suite ».

Exercice 7 de cette feuille d’exercices et exercice 4 de cette feuille d’exercices pour jeudi, encore merci @ Nathalie DAVAL.

Lire la suite

Équations différentielles

Activité : associer trois fonctions …

  • f:f(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{\pi}{2}
  • g:g(x)=\text{e}^{3x}-\dfrac43
  • h:h(x)=2\sin(2x)+3\cos(2x)

… à trois équations différentielles :

  • A : y'-3y=4
  • B : y'=x^2
  • C : y''+4y=0

Cours :

  1. Équations différentielles « primitives » : \boxed{y'=f(x)}
    Les solutions sont les fonctions de type \boxed{F(x)+k}, où k \in \mathbb{R} à déterminer avec une condition initiale.
    Illustration graphique et « famille de courbes »
  2. Équations différentielles type \boxed{y'+ay=b}
    Les solutions sont les fonctions de type \boxed{y=k\text{e}^{-ax}+\dfrac{b}{a}}, où k \in \mathbb{R} à déterminer avec une condition initiale.
    Illustration graphique et « famille de courbes »
  3. Équations différentielles type \boxed{y''+\omega^2 y=0}
    Les solutions sont les fonctions de type \boxed{y = \lambda \sin(\omega x)+\mu \cos(\omega x)}, où \lambda \in \mathbb{R} et \mu \in \mathbb{R} à déterminer avec deux conditions initiales.

Les notes de Fred (merci) : ATTENTION IL Y AVAIT UNE ERREUR DANS LE TITRE DU 2 DU COURS AU TABLEAU !

Faire les exercices 1 à 4 de cette feuille d’exercices pour jeudi prochain, merci @ Nathalie DAVAL : les gens qui viennent en AP ce soir la feront avec mon aide.

Croissances comparées

Question « flash » : étudier f:x \mapsto \left(x^2-4x\right)\text{e}^x et dresser son tableau de variations sur \mathbb{R}. Limite en +\infty ?

Pendant ce temps, rendu du DM de mars et ramassage du DM d’avril.

La limite en -\infty  pose problème, on introduit la notion de croissances comparées , déjà maintes fois expliquées à l’oral.

Les notes de Fred, merci :

Cours – croissances comparées et formulaire

  • \boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n}=+\infty}
  • \boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=0}
  • \boxed{\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^n \text{e}^x=0}
  • \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} x^n \ln x=0}

Exemples en +\infty :

  • f(x)=x - \ln x
    L’énoncé nous propose de montrer que pour x>0, on a f(x)=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)
    Or \boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0 \text{ (cours, croissances comparees).}}
    Donc \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)=1 \text{ (par somme)}.
    Enfin \boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty \text{ (par produit)}.}
  • g(x)=\text{e}^x-x^2
    L’énoncé nous propose de montrer que pour x>0, on a g(x)=x^2\left(\dfrac{\text{e}^x}{x^2}-1\right)
    Or \boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^2}=+\infty \text{ (cours, croissances comparees).}}
    Donc \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{\text{e}^x}{x^2}-1\right)=+\infty \text{ (par somme)}.
    Enfin \boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x)=+\infty \text{ (par produit)}.}

Exercice 45 page 168 commencé en classe et à rédiger sur feuille pour mardi prochain :

cm 2019-04-30 ex 45 page 168

On voudra peut-être aller réviser ici aussi pour les asymptotes obliques