Un autre exercice d’analyse … puis introduction à la loi normale

Correction de l’exercice qui restait sur la feuille « A7 » :

On en profite pour faire une digression sur une approximation puis un calcul d’intégrale à l’aide de la calculatrice. Voir ci-dessus en dernière page.

Ce qui nous permet de continuer le voyage initiatique que nous avons entamé cette semaine vers les variables aléatoires continues et leurs fonctions « densité ».

Après les lois uniforme \mathscr{U} et exponentielle \mathscr{E}, chapitre P2 à venir, on s’intéresse à la loi normale \mathscr{N} centrée réduite, chapitre P3 à venir, dont la fonction densité x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} ~~\text{e}^{-\frac{x^2}{2}} définie sur \mathbb{R} est tracée ci-dessous :

cm 2020-02-06 TS1 P3 loi normale centrée réduite

Le logiciel nous confirme que l’intégrale \displaystyle \int_{ \mathbb{R}} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}~~ \text{e}^{-\frac{x^2}{2}}~\text{d}x = 1.

A suivre ! Bon bac blanc, bonnes vacances !

Correction détaillée puis vers la loi exponentielle

Synthèse analyse A4 – A7

Correction de l’exercice 93 page 191 pour aujourd’hui, avec moult détails et parenthèses :

Reprise P2

  • reprise sur la loi uniforme vue la veille,
  • introduction rapide de la notion de fonction densité pur une loi continue,
  • exemple de la fonction densité f(t)=\lambda \text{e}^{-\lambda t} sur \mathbb{R}^{+} avec \lambda >0 :cm 2020-02-05 TS1 lois exponentielles

 

Intégrale et tramway

Infos :

  • pas de contrôle ce jeudi,
  • pas de préparation au concours général demain.

A10 – Intégrale ?

On corrige l’algorithme de la veille :

cm 2020-02-03 Sommes de Riemann et ln2

def f(x) :
    return 1/x

def sommeRiemann(a, b, n):
    x = a
    somme = 0
    largeur = (b-a) / n
    for i in range(n):
        x = x + largeur
        hauteur = f(x)
        somme = somme + hauteur * largeur
    return somme

resultat = sommeRiemann(1, 2, 10000)
print(resultat)
=== RESTART: TS1 sommes de Riemann.py ===
0.693122181184967
>>> from math import log
>>> log(2)
0.6931471805599453
>>> 

Ces sommes de Riemann peuvent s’écrire

\displaystyle \sum_{k=1}^{k=n} f\left(1+\dfrac{k}{n}\right) \times \dfrac{1}{n} = \sum f(x) \Delta x

  • f est la fonction inverse,
  • x \in \left\lbrace 1+\dfrac{1}{n}, 1 +\dfrac{2}{n}, \cdots, 1 + \dfrac{n-1}{n}, 2\right\rbrace~ (les abscisses dont les images sont les hauteurs des rectangles),
  • \Delta x = \dfrac{1}{n}~ la largeur des rectangles.

Dans le cas de la fonction inverse, l’aire du domaine délimité par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=1 et x=2 s’appelle « intégrale de 1 à 2 de x \mapsto \dfrac{1}{x} » et est notée \displaystyle \int_1^2 \dfrac{1}{x} ~\text{d}x et cette intégrale vaut en fait \ln 2, ce que nous prouverons plus tard.

Bilan :

\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \displaystyle \sum_{k=1}^{k=n} f\left(1+\dfrac{k}{n}\right) \times \dfrac{1}{n} = \displaystyle \lim_{n \to +\infty}\sum f(x) \Delta x = \displaystyle \int_1^2 f(x) ~\text{d}x = \ln 2

On compare les aires obtenues avec ces sommes de Riemann avec celles de la méthode de Monté Carlo

cm 2020-02-04 TS1 Monté-Carlo ln2

from geometrie import *
from random import random
#from math import sqrt
 
def f(x):
    return 1 / x
 
def monte_carlo(a, b, y_min, y_max, N):
    Rep=Repere(a, b, 1, y_min, y_max, 1, axe='oui', grille='oui')

    largeur = b - a
    hauteur = y_max - y_min
    compteur = 0
    
    for i in range(N):
        x = a + random() * largeur
        y = y_min + random() * hauteur

        if y <= f(x): # point sous la courbe
            Rep.trace_point(x, y, 5, "blue")
            compteur = compteur + 1
        else: # point au dessus de la courbe
            Rep.trace_point(x, y, 5, "red")
        
        # la courbe de f pour le visuel
        Rep.trace_point(x, f(x), 5, "green")
       
    frequence = compteur / N
    aire_rectangle = largeur * hauteur
    return frequence * aire_rectangle

resultat = monte_carlo(1, 2, 0, 1, 10000)
print(resultat)
======= RESTART: TS1 Monté-Carlo.py =======
0.6971
>>> 

P2 – application aux lois continues de probabilités

  • Du discret au continu,
  • tramway et loi uniforme T \sim \mathcal{U} \left([0~;~7]\right).

cm 2020-02-04 TS1 loi uniforme et tramway

AP : sommes de Riemann

Des questions sur l’exercice donné mercredi pour mercredi ?

TP : des sommes de Riemann aux intégrales

Réaliser une fonction python qui, à un entier n \geqslant 2 envoyé en paramètre, associe la somme des aires des rectangles ainsi construits sous la courbe de la fonction inverse sur l’intervalle [1~;~2] :

cm 2020-02-03 Sommes de Riemann et ln2

Pour n = 2 la somme vaut 0.5833333333333333
Pour n = 3 la somme vaut 0.6166666666666668
Pour n = 4 la somme vaut 0.6345238095238095
>>>

On parle de sommes de Riemann.

On pourra commencer par retrouver les trois résultats ci-dessus « à la main » pour comprendre le principe.

Fini ? Comparer les résultats obtenus avec la méthode de Monté-Carlo.

Bilan de cette séance (et introduction à la notation pour les intégrales) demain.

Test par groupes aléatoires n°1

51gkt74mdjl

L’union fait la force 😉

Ce test plutôt collaboratif a porté sur

  • 91 page 190 (à préparer pour ce jour),
  • 95 page 191,
  • QCM Complexes : questions 1, 2 et 5 page 300.

Sujet :

Proposition de corrigé (extraits de copies annotés) :

 

A7 – en pratique dans les exercices

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