Déterminer une aire (2)

Flash : \boxed{\displaystyle \int_{-5}^{9} 3~\text{d}x = 42} et \boxed{\displaystyle \int_{0}^{3} (-x+3)~\text{d}x = \dfrac92.}


On revient sur J = \displaystyle \int_{0}^{1} x^2~\text{d}x et on soupçonnait hier que \boxed{J =\dfrac13.}

  • à l’aide de sommes de Riemann :
avec n rectangles

On produit un code python :

def f(x):

    return x ** 2

def somme_rectangles(a, b, n):

    deltax =(b-a)/n
    S=0
    x=a
    
    for i in range (n):
        aire=f(x)*deltax
        S=S+aire
        x=x+deltax
        
    return S

Qui donne par exemple :

>>> somme_rectangles(0, 1, 100)
0.32835000000000036
>>> somme_rectangles(0, 1, 1000)
0.33283350000000095
>>> somme_rectangles(0, 1, 10000)
0.3332833349999431
>>> somme_rectangles(0, 1, 10 ** 6)
0.33333283333399866
>>> somme_rectangles(0, 1, 10 ** 9)
0.3333333326322393
>>> 

Puis on utilise géogébra pour émettre une conjecture : et si l’aire obtenue avait un lien avec la primitive ?

On arrive à émettre cette conjecture : si F est une primitive de f sur [a~;b], alors \boxed{\displaystyle \int_a^b f(x)~\text{d}x = F(b) - F(a).}

Pour y arriver, commençons par prouver que si F est définie F(x) = \displaystyle \int_c^x f(t)~\text{d}t, alors F est une primitive de f sur un intervalle I bien choisi.

Démonstration et preuve de cette propriété dans le cas où f est continue et strictement croissante sur I.

To be continued…

Les tableaux du jour :

5 réflexions au sujet de « Déterminer une aire (2) »

  1. Bonjour Monsieur est-ce possible d’avoir votre mail pour pouvoir vous envoyez en photo les endroits ou je n’ai pas trop bien compris

    • Bonjour,
      Bien entendu c’est mon nom suivi de mon prénom, les deux collés sans mettre de point, suivi de « @gmail.com ».
      Par contre, je pense que décrire sans photo et se forcer à formuler des questions est très formateur 😉
      Il y aura par ailleurs grandement moyen de poser des questions lundi.
      Bon courage et bon week-end.

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