Petit test

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1. Résoudre 2 \times 3^n \geqslant 42 \times 10^3 sur \mathbb{N}

2. On considère f définie par f(x)=\text{e}^{3x-2} dérivable sur \mathbb{R}

a) Déterminer f'(x) sur \mathbb{R}

b) En déduire \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\text{e}^{3x-2}-\text{e}}{x-1}.

3. Déterminer \displaystyle \lim_{x \to \text{e}} \dfrac{\ln(x)-1}{x-\text{e}}.

1. On a 2 \times 3^n \geqslant 42 \times 10^3
\Leftrightarrow 3^n \geqslant 21 \times 10^3
\Leftrightarrow \ln\left(3^n\right) \geqslant \ln\left(21 \times 10^3\right) car \ln strictement croissante sur ]0~;~+\infty[
\Leftrightarrow n \ln\left(3\right) \geqslant \ln\left(21 \times 10^3\right)
\Leftrightarrow n \geqslant \dfrac{\ln\left(21 \times 10^3\right)}{\ln\left(3\right)} car \ln\left(3\right)>0
\Leftrightarrow \boxed{n \geqslant 10} car \dfrac{\ln\left(21 \times 10^3\right)}{\ln\left(3\right)} \simeq 9,06.

2. a) On a f=\text{e}^u donc f'=u'\text{e}^u.
Il vient \boxed{f'(x)=3\text{e}^{3x-2}} sur \mathbb{R}.

b) \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\text{e}^{3x-2}-\text{e}}{x-1}=\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1) car f dérivable en 1.

Donc \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\text{e}^{3x-2}-\text{e}}{x-1}=f'(1)=3\text{e}.}

3. \displaystyle \lim_{x \to \text{e}} \dfrac{\ln(x)-1}{x-\text{e}} = \lim_{x \to \text{e}} \dfrac{\ln(x)-\ln(e)}{x-\text{e}}=\ln'(e) car \ln dérivable en \text{e}.

Donc \boxed{\displaystyle \lim_{x \to \text{e}} \dfrac{\ln(x)-1}{x-\text{e}} = \dfrac{1}{e}.}

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