Théorème de la bijection : correction et petit test

Flash avec deux questions du « sujet zéro »

Correction de l’exercice pour aujourd’hui

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[1~;~15]$ par :

$g(x)=-0,6x+4+\text{e}^{-x+5}$

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[1~;~15]$ et on note $g'$ sa dérivée.
1. (a) Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1~;~15]$ .
(b) En déduire que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[1~;~15]$
2. (a) Dresser le tableau de variations de a fonction $g$ sur l’intervalle $[1~;~15]$ , en précisant les valeurs $g(1)$ et $g(15)$ arrondies à l’unité.
(b) Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1~;~15]$ .
Donner une valeur approchée de $\alpha$ à 0,1 près.
(c) Déduire des questions précédentes le tableau de signes de $g(x)$ sur l’intervalle $[1~;~15]$ .