A13 – Fonctions trigonométriques (2)

Échauffement : petites équations trigonométriques


Synthèse de cours efficace

Nos résultats de cours de la séance précédente en quelques lignes.

Les fonctions \sin et \cos sont définies sur \mathbb{R} et périodiques de période 2\pi. Ce qui signifie que pour tout x réel,

  • \boxed{\sin\left(x + 2\pi\right)=\sin x}
  • \boxed{\cos\left(x + 2\pi\right)=\cos x}

A13 05-2

La fonction sinus \sin est impaire, ce qui signifie que

  • pour tout x réel, \sin(-x) = - \sin x,
  • la courbe de \sin est symétrique par rapport à l’origine du repère.

La fonction cosinus \cos est paire, ce qui signifie que

  • pour tout x réel, \cos(-x) =  \cos x,
  • la courbe de \cos est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Pour ces raisons, on étudie les fonctions sur \left[0~;~\pi\right] et on déduit le reste des variations, images, bref on trace la courbe sur \mathbb{R} par symétrie et en reproduisant les périodes. On obtient également une des deux courbes à partir de l’autre par translation de vecteur \dfrac{\pi}{2} \vec{i} puisque, par exemple, \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2} \right) = \cos x~~ \forall x \in \mathbb{R}.

Dérivabilité : les fonctions \sin et \cos sont dérivables sur \mathbb{R} et

  • \boxed{\sin' = \cos}
  • \boxed{\cos' = -\sin}

On a par ailleurs

  • \boxed{\left(\sin(u) \right)' = u' \cos(u)}
  • \boxed{\left(\cos(u) \right)' = - u' \sin(u)}

Et enfin cette limite classique : \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1.}


Aujourd’hui,

un savoir-faire essentiel pour la physique

Il s’agit de travailler avec des courbes sinusoïdales définies par \boxed{t \mapsto A\sin\left(\omega t + \varphi\right)} ou \boxed{t \mapsto A\cos\left(\omega t + \varphi\right).}

  • t est le temps en secondes
  • A est l’amplitude, ou valeur de crête,
  • \omega la pulsation, en radians par secondes,
  • \varphi le déphasage ou la phase à l’origine en radians.

On passe de la courbe de \boxed{t \mapsto A\sin\left(\omega t + \varphi\right)} à celle de \boxed{t \mapsto A\cos\left(\omega t + \varphi\right)} par translation et ce en changeant juste le déphasage \varphi, donc ce seront pour nous des fonctions très similaires.

On a plusieurs fois dans cette vidéo évoqué le lien entre la période T, en secondes, et \omega la pulsation, en radians par secondes : \boxed{\omega = \dfrac{2\pi}{T} \Leftrightarrow T = \dfrac{2\pi}{\omega}.}

Un exercice corrigé pour tout comprendre

Il s’agit de l’exercice 38 page 150 auquel on a rajouté :

  • la preuve de la périodicité,
  • l’étude du sens de variation sur une période,
  • un calcul d’intégrale avec une recherche de primitive pour \cos(u).

Les diapos sont plus loin en cliquant sur « lire la suite ».

Et après ?

  • D’ici vendredi (AP à 10h), avoir travaillé au maximum, ainsi que les pages 140 à 143 (cours du livre et quatre exercices résolus) !
  • Le lien pour l’AP : ici.
  • Je suis connecté demain matin de 10h à 12h pour l’ISN mais aussi pour toute question. Même lieu de rdv virtuel.
  • Ce seront mes dernières classes virtuelles : je travaille en présentiel au lycée à partir de la semaine prochaine.
  • Des exercices supplémentaires A13 seront publiés.
  • Il y aura encore des vidéos pour le chapitre P4, dernier chapitre !
  • Les supports de ce que nous ferons en présentiel seront partagés ici.
  • Bon courage pour bien travailler jusqu’au bout !
  • Vous me manquez !

N'hésitez-pas à poser une question, ou faire avancer le schmilblick

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