Semaine 7 – objectif 1 : une preuve P2 avec A9-A11-A12

Au chapitre P2, nous avons introduit la loi exponentielle \boxed{\mathscr{E}\left(\lambda\right)}, de fonction densité f : f(t)=\lambda \text{e}^{-\lambda t} sur \mathbb{R}^{+} avec \lambda >0.

Nous avons affirmé (et utilisé) la propriété : son espérance est \boxed{E(X)=\dfrac{1}{\lambda}.}

Démontrons la maintenant que nous savons mieux gérer intégrales et primitives.

Rappel : une loi de densité f sur un intervalle I a pour espérance E(X)=\displaystyle \int_I t~ f(t)~\text{d}t. (Cours P2)

Ici, I=\mathbb{R}^{+}, et on va déterminer E(X)=\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \int_0^{x} t~ f(t)~\text{d}t.

Preuve dans le détail :

  1. On cherche une primitive G : G(t)=(at+b)\text{e}^{-\lambda t} de t \mapsto t~ f(t) = \lambda t \text{e}^{-\lambda t} sur \mathbb{R}^{+}a et b sont des réels à déterminer. Pour cela :
    • calculer G'(t) sur \mathbb{R}^{+},
    • puisque G'(t) = t~f(t) sur \mathbb{R}^{+}, en déduire un système d’équations puis déterminer a et b.
  2. On a donc G : G(t)=\left(-t - \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{-\lambda t} primitive de t \mapsto t~ f(t) sur \mathbb{R}^{+}.
    • Déterminer \displaystyle \int_0^{x} t~ f(t)~\text{d}t.
    • En déduire \boxed{E(X)=\dfrac{1}{\lambda}.}

Notes des élèves (merci) :

compil0compil1compil2acompil2bcompil2ccompil3compil4compil5compil6

N'hésitez-pas à poser une question, ou faire avancer le schmilblick

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