Samedi 11 avril – tableau des primitives

Bonjour.

 

On commence par les corrections des exercices dans le manuel.

 

Ils ont été corrigés « naïvement » c’est à dire en tâtonnant; on est donc désormais mûrs pour généraliser ces recherches de primitives, de façon plus « automatisées » grâce au tableau des primitives, comme c’est expliqué et détaillé dans le cours du jour.

 

Pendant les vacances, histoire de garder un peu le contact avec la matière, je vais continuer de traiter le cours, mais de façon plus distendue.

Je vous propose donc les exercices suivants : 31 et 32 page 220 et 34 page 221 pour mercredi.

 

Je vais mettre également à votre disposition quelques exercices d’entrainement personnels sur différents thèmes, pour ceux qui veulent travailler en autonomie, comme ça aurait été le cas lors des vacances de Pâques « normales ».

 

Bon week-end !

5 réflexions au sujet de « Samedi 11 avril – tableau des primitives »

  1. bonjour monsieur,
    je n’ai pas bien compris la linéarité des primitives, en gros le fonctionnement.
    Par exemple dans le cours vous avez écrit : (x^5)’=5x^4 et donc (1/5*x^5)’=5x^4 : ce que je ne comprends pas c’est d’où vient le 1/5 ? est ce que à chaque fois il faut mettre 1 au numérateur et au dénominateur on met le chiffre qui est élevé à la puissance (par exemple pour ici 5) ?

    • Bonjour Leslie.
      Allons y doucement.

      La linéarité des primitives c’est juste une façon de dire que la primitive d’une somme de deux fonctions est la somme de leurs deux primitives, et que la primitive de 5 fois un fonction f par exemple, est simplement 5 fois une primitive de f.
      Mais si on réfléchit bien on le savait déjà : c’est juste la lecture inversée de la linéarité de … lz dérivation qui dit que (f+g)’ = f’+g’ et que (5f)’ = 5f’.

      Ensuite il y a la technique propre aux recherches de primitives et qui utilise implicitement cette linéarité puisque c’est ce qui permet d’isoler, dans une grosse somme, les fonctions « simples » et de se concentrer sur elles.

      Prenons un autre exemple concret avec f(x) = 10x^7 + 1/(3x).
      La linéarité permet de ne traiter que x^7 et 1/x puisqu’on peut écrire f(x) = 10 fois x^7 + 1/3 fois 1/x.
      Si on y va en tâtonnant on cherche donc une fonction dont la dérivée est x^7.
      On sait qu’il faut partir du degré supérieur : x^8.
      En effet (x^8)’ = 8x^7.
      Sauf que des x^7 on n’en veut pas 8… on en veut qu’un !
      Pour compenser le 8 on va donc le virer en divisant par lui-même : ((1/8)x^8)’ = x^7.
      D’autre part on sait que c’est ln(x) qui a pour dérivée 1/x.

      On vient donc de voir que x^7 a pour primitive (1/8)x^8 et que 1/x a pour primitive ln(x).

      PAR LINÉARITÉ on en déduit que f(x) a pour primitive 10 fois (1/8)x^8 + (1/3) fois ln(x).
      Et ainsi une primitive de f est:
      F(x) = (5/4)x^8 + (1/3)ln(x).

      On remarque d’ailleurs que le tableau des primitives permet d’accélérer la phase où on tâtonne pour trouver le (1/8)x^8.
      En effet x^n a pour primitive (1/(n+1))x^(n+1), donc avec n=7 : x^7 a bien pour primitive (1/(7+1))x^(7+1).

      Pour en revenir à ta question, oui… et c’est exactement le sens de ce 1/(n+1) devant x^(n+1) : c’est exactement le coefficient nécessaire pour que la dérivée de cette fonction soit effectivement x^n de façon à ce que cette fonction soit effectivement une primitive de x^n.

      Est ce que cette réponse t’aide a comprendre la logique de la démarche ?

    • Bonjour… patience, ça arrive ! Pour le moment nous n’avons pas encore vu ça.

      L’idée sera d’utiliser les formules de dérivation des fonctions composées pour les lire « à l’envers ».
      Par exemple si je prends f(x) = x/rac(x²+1)
      Je sais que rac(u) a pour dérivée u’/2rac(u).

      Donc avec u = x²+1 (et donc u’ = 2x) je vois que f(x) = u’/2rac(u).
      Et ainsi F(x) = rac(u) = rac(x²+1) est une primitive de f.

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