G2 – Correction des exercices

Qui étaient à faire pour le 3 avril…

Exercice 53 page 285

cm 2020-04-03 TS1 G2 ex53p285

  • A(a) avec a =1+\text{i} :
    • |a|=\sqrt{2}, diagonale d’un carré de côté 1,
    • \arg(a)=\dfrac{\pi}{4}~(2\pi), moitié d’un angle droit.
  • B(b) avec b =-1-\text{i} :
    • |b|=\sqrt{2}, diagonale d’un carré de côté 1,
    • \arg(b)=-\dfrac{3\pi}{4}~(2\pi), moitié d’un angle droit plus un angle droit, mais dans le sens négatif.
  • C(c) avec c =4 :
    • |c|=4, en comptant les carreaux,
    • \arg(c)=0~(2\pi), angle vide.
  • D(d) avec d =-\dfrac52 :
    • |d|=\dfrac52, en comptant les carreaux,
    • \arg(d)=\pi~(2\pi), angle plat.
  • E(e) avec e =2\text{i} :
    • |e|=2, en comptant les carreaux,
    • \arg(e)=\dfrac{\pi}{2}~(2\pi), angle droit.
  • F(f) avec f =-3\text{i} :
    • |f|=3, en comptant les carreaux,
    • \arg(f)=-\dfrac{\pi}{2}~(2\pi), angle droit, mais dans le sens négatif.
  • G(g) avec g =3+3\text{i} :
    • |g|=3\sqrt{2}, diagonale d’un carré de côté 3,
    • \arg(g)=\dfrac{\pi}{4}~(2\pi), moitié d’un angle droit.

Exercice 54 page 285

cm 2020-04-03 TS1 G2 ex54p285

  • A d’affixe z telle que |z|=1 et \arg(z)=\dfrac{3\pi}{4}~(2\pi).
  • B d’affixe z telle que |z|=2 et \arg(z)=\dfrac{5\pi}{6}~(2\pi).
  • C d’affixe z telle que |z|=1 et \arg(z)=-\dfrac{2\pi}{3}~(2\pi).
  • D d’affixe z telle que |z|=2 et \arg(z)=\dfrac{2\pi}{3}~(2\pi).

Exercice 55 page 285

cm 2020-04-03 TS1 G2 ex55p285abc

  • |z|=2 est l’équation du cercle de centre 0 et de rayon 2, en vert.
  • |z|=3 est l’équation du cercle de centre 0 et de rayon 3, en rouge/rose.
  • |z| < 3 est l’inéquation du disque de centre 0 et de rayon 3, en rose, privé du cercle de centre 0 et de rayon 3, en rouge/rose.

cm 2020-04-03 TS1 G2 ex55p285d

  • 1 < |z| \leqslant 2\sqrt{2} détermine la couronne circulaire entre
    • le cercle de centre O et de rayon 2\sqrt{2}, inclus,
    • et le cercle de centre O et de rayon 1, exclus.

Exercice 56 page 285

cm 2020-04-03 TS1 G2 ex56p285

cm 2020-04-03 TS1 G2 ex56p285 enonce

Exercice 57 page 285

cm 2020-04-03 TS1 G2 ex57p285cm 2020-04-03 TS1 G2 ex57p285 enonce

Exercice 58 page 285

  • r=|z|=\sqrt{5} et \theta = \arg(z)=\dfrac{\pi}{6}~(2\pi) :
    alors z=r\left(\cos \theta + \text{i} \sin \theta\right)
    soit z=\sqrt{5}\left(\cos \dfrac{\pi}{6} + \text{i} \sin \dfrac{\pi}{6}\right)
    soit z=\sqrt{5}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i} \times \dfrac{1}{2}\right).
    Enfin \boxed{z=\dfrac{\sqrt{15} + \text{i}\sqrt{5}}{2}.}

De même, corrigé de la page 460 :cm 2020-04-03 TS1 G2 ex58p285

Exercice 59 page 285

  • On a |z|=\sqrt{1^2 + \sqrt{3}^2} = \sqrt{4}=2.
    Il vient z=1 + \text{i}\sqrt{3}=2\left(\dfrac12 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right),
    soit \boxed{z=2\left(\cos \dfrac{\pi}{3} + \text{i} \sin \dfrac{\pi}{3}\right)}
    On a ainsi trouvé la forme trigonométrique de z = 1 + \text{i}\sqrt{3}.
    (On a cherché ici \theta = \arg(z) tel que \cos \theta = \dfrac12 et \sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.)
    \boxed{|z|=2} et \boxed{\theta = \arg(z)=\dfrac{\pi}{3}~(2\pi).}

De même, corrigé de la page 460 :
cm 2020-04-03 TS1 G2 ex59p285

Exercice 60 page 285

  • On a \left|\dfrac12 - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{6}\right|=\sqrt{\dfrac14 + \dfrac{3}{36}} = \sqrt{\dfrac13}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} donc \boxed{\left|\dfrac12 - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{6}\right|=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.}
    Il vient \dfrac12 - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \text{i}\dfrac12\right),
    soit \boxed{\dfrac12 - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{6}=2\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + \text{i} \sin \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)}
    On a ainsi trouvé la forme trigonométrique de \dfrac12 - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{6}.
    On a enfin \boxed{\arg\left(\dfrac12 - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{6}\right)=-\dfrac{\pi}{6}~(2\pi).}
  • On a \left|-4\text{i}\right|=\sqrt{0^2 + 4^2} = 4 mais ici on peut directement affirmer que \boxed{\left|-4\text{i}\right|=4.}
    Il vient -4\text{i}=4\left(0 - \text{i}\right),
    soit \boxed{-4\text{i}=4\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{2}\right) + \text{i} \sin \left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)}
    (On a cherché ici \theta tel que \cos \theta = 0 et \sin \theta = -1.)
    On a ainsi trouvé la forme trigonométrique de -4\text{i}.
    On a enfin \boxed{\arg(-4\text{i})=-\dfrac{\pi}{2}~(2\pi).}
  • On a \left|3\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}\right|=\sqrt{9 \times 2 + 6} = \sqrt{24}=2{\sqrt{6}} donc \boxed{\left|3{\sqrt{2}} + \text{i}{\sqrt{6}}\right|=2{\sqrt{6}}.}
    Il vient 3{\sqrt{2}} + \text{i}{\sqrt{6}}=2{\sqrt{6}}\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2{\sqrt{6}}} + \text{i}\dfrac12\right),
    soit 3{\sqrt{2}} + \text{i}{\sqrt{6}}=2{\sqrt{6}}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac12\right),
    soit \boxed{3{\sqrt{2}} + \text{i}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}\left(\cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right) + \text{i} \sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)}
    On a ainsi trouvé la forme trigonométrique de 3\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}.
    On a enfin \boxed{\arg\left(3\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}\right)=\dfrac{\pi}{6}~(2\pi).}

Exercice 61 page 285

  • On a 2\left(\cos \left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + \text{i} \sin \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right) = 2\left(-\dfrac12 + \text {i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)= \boxed{-1+\text{i}\sqrt{3}.}
  • On a \sqrt{3}\left(\cos \left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) + \text{i} \sin \left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{3}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \text {i}\dfrac12\right)= \boxed{-\dfrac32-\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}.}

Exercice 62 page 285

cm 2020-04-03 TS1 G2 ex62p285

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