De A11 à A12

Bonjour !

DM n°11 à rendre hier

  • Sujet et correction DM11 : là.
  • Vous recevrez des réponses individuelles pour celles et ceux qui ont rendu.

A8 – Petit pseudo-test ln – 30 minutes

A11 vers A10 puis A12 – Correction primitives et intégrales

cm 2020-03-27 TS1 exercices A11 corrigés

cm 2020-03-27 TS1 exercices A11 vers A12 corrigés 1

cm 2020-03-27 TS1 exercices A11 vers A12 corrigés 2

\displaystyle\int_1^2\left(2t+4\right)~\text{d}t = \left[t^2+4t\right]_1^2=\left(2^2+4\times2\right)-\left(1^2+4\times 1\right)=12-5=7

Xcas : int(2t+4,t,1,2) donne \boxed{7.}


\displaystyle\int_1^{\text{e}}\dfrac{1}{x}~\text{d}x = \left[\ln(x)\right]_1^{\text{e}}=\ln {\text{e}}-\ln 1=1-0=1

Xcas : int(1/x,x,1,e) donne \boxed{1.}


\displaystyle\int_0^1\left(-3t^2+6\right)~\text{d}t = \left[-3 \times \dfrac{t^3}{3}+6t\right]_0^1= \left[-t^3+6t\right]_0^1
=\left(-1^3+6\times1\right)-\left(-0^3+6\times 0\right)=-1+6-0=5

Xcas : int(-3*t^2+6,t,0,1) donne \boxed{5.}


\displaystyle\int_1^2\left(2x-\dfrac{3}{x+1}\right)~\text{d}x = \displaystyle\int_1^2\left(2x-\dfrac{3u'}{u}\right)~\text{d}x avec \left\lbrace\begin{array}{l}u=x+1>0 \text{ sur } [1~;~2]\\u'=1\end{array}\right.

= \left[x^2 - 3 \ln(u)\right]_1^2= \left[x^2-3\ln(x+1)\right]_1^2
=\left(2^2 - 3 \ln 3\right)-\left(1^2 - 3 \ln2\right)=4-3 \ln3 -1 +3\ln2
=3 + 3 \left(\ln2 - \ln3\right) = 3 \left(1 + \ln\dfrac23 \right) \simeq 1,784
Xcas : int(2x-3/(x+1),x,1,2) donne \boxed{-3 \ln3+4 +3\ln2 -1.}
Xcas : evalf(int(2x-3/(x+1),x,1,2)) donne \boxed{1.78360467568}
Xcas : simplifier(int(2x-3/(x+1),x,1,2)) donne \boxed{\ln\left(\dfrac{8\text{e}^3}{27}\right).}
En effet \displaystyle\int_1^2\left(2x-\dfrac{3}{x+1}\right)~\text{d}x =3 \left(1 + \ln\dfrac23 \right)
= 3\left(\ln \text{e} + \ln\dfrac23 \right) = 3 \ln\left(\text{e} \times \dfrac23\right)=\ln\left(\left(\dfrac{2\text{e}}{3}\right)^3\right)=\ln\left(\dfrac{8\text{e}^3}{27}\right).


\displaystyle\int_1^{2}\left(2\text{e}^x-5x\right)~\text{d}x = \left[2\text{e}^x-\dfrac{5x^2}{2}\right]_1^{2}
= \left(2\text{e}^2-\dfrac{5\times 2^2}{2}\right) - \left(2\text{e}^1-\dfrac{5\times 1^2}{2}\right)=2\text{e}^2-10-2\text{e}+\dfrac52
\boxed{\displaystyle\int_1^{2}\left(2\text{e}^x-5x\right)~\text{d}x = 2\text{e}^2-2\text{e}-7,5.}


On arrive au taquet du niveau escompté avec celle-ci, de niveau supérieur mais qui nécessitait une manipulation initiale !

I = \displaystyle\int_1^{\text{e}}\dfrac{2x}{x+2}~\text{d}x = \displaystyle\int_1^{\text{e}}\left(\dfrac{2x+4}{x+2} - \dfrac{4}{x+2}\right)~\text{d}x
= \displaystyle\int_1^{\text{e}}\left(\dfrac{2(x+2)}{x+2} - \dfrac{4}{x+2}\right)~\text{d}x= \displaystyle\int_1^{\text{e}}\left(2 - \dfrac{4}{x+2}\right)~\text{d}x
Donc I = \displaystyle\int_1^{\text{e}}\left(2 - \dfrac{4u'}{u}\right)~\text{d}x avec \left\lbrace\begin{array}{l}u=x+2>0 \text{ sur } [1~;~\text{e}]\\u'=1\end{array}\right.
Il vient I =\left[2x - 4 \ln(u)\right]_1^{\text{e}}= \left[2x-4\ln(x+2)\right]_1^{\text{e}}
D’où I=\left(2{\text{e}} - 4 \ln \left({\text{e}}+2\right)\right)-\left(2 \times 1 - 4 \ln\left(1+2\right)\right)
Enfin \boxed{I=4\ln \dfrac{3}{{\text{e}}+2} + 2{\text{e}} -2 \simeq 1,625}

Xcas : int(2x/(x+2),x,1,e) donne \boxed{2{\text{e}}-4 \ln\left({\text{e}}+2\right)+4\ln3 -2}
Xcas : evalf(int(2x/(x+2),x,1,e) ) donne \boxed{1.62523395586}


A12 – Calcul intégral

Le support de cours :

Travail à venir

2 réflexions au sujet de « De A11 à A12 »

  1. Bonjour monsieur,
    Je n’ai pas compris comment on fait pour équilibre f(x) dans le protocole du niveau 3, comment sait ou s’il faut le mettre en haut ou en bas et quel chiffre mettre?
    Merci d’avance.

    • Bonjour. LA BASE :

      IL FAUT AVOIR u' EN HAUT OU DEVANT !

      Alors on le pose et on réfléchit après à comment faire en divisant ou multipliant pour que ça reste juste.
      Ex : I = \displaystyle \int_2^4 \dfrac{4x}{3(x^2+4)^3}~\text{d}x

      On pose \left\lbrace\begin{array}{l}u(x)=x^2+4>0 \text{ sur } [2~;~4]\\u'(x)=2x\end{array}\right.

      J’ai alors \dfrac{4x}{3(x^2+4)^3} = \dfrac{4x}{3u^3}.
      Il me faut u' « en haut ».
      Je le mets : \dfrac{u'}{3u^3}.
      C’est juste ?
      Non, j’ai pour l’instant \dfrac{u'}{3u^3} = \dfrac{2x}{3(x^2+4)^3} .
      Il faut « compenser pour passer ce cet état \dfrac{2x}{3(x^2+4)^3} à ce qu’il y a dans l’énoncé \dfrac{4x}{3(x^2+4)^3} en « faisant fois deux » : \dfrac{2u'}{3u^3} .
      On peut calculer :
      I=\displaystyle \int_2^4 \dfrac{4x}{3(x^2+4)^3}~\text{d}x = \displaystyle \int_2^4 \dfrac{2u'}{3u^3} ~\text{d}x=\displaystyle \dfrac23 \int_2^4 u'u^{-3} ~\text{d}x
      J’ai ici « sorti » le \dfrac23 par linéarité.
      Il vient I=\dfrac23 \left[\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\right]_2^4=\dfrac23 \left[\dfrac{u^{-3+1}}{-3+1}\right]_2^4
      Donc I=\dfrac23 \left[\dfrac{u^{-2}}{-2}\right]_2^4=\dfrac23 \left[-\dfrac{1}{2u^2}\right]_2^4=\dfrac23 \left[-\dfrac{1}{2(x^2+4)^2}\right]_2^4.
      Enfin I =\dfrac23 \left(-\dfrac{1}{2\times (4^2+4)^2}-\left(-\dfrac{1}{2\times (2^2+4)^2}\right)\right)=\dfrac23 \left(-\dfrac{1}{800}+\dfrac{1}{128}\right).
      Soit \boxed{I=\displaystyle \int_2^4 \dfrac{4x}{3(x^2+4)^3}~\text{d}x =\dfrac23 \times \dfrac{21}{3200} = \dfrac{7}{1600}.}

      Xcas confirme : int(4x/(3*(x^2+4)^3),x,2,4) donne bien \dfrac{7}{1600}.

N'hésitez-pas à poser une question, ou faire avancer le schmilblick

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l’aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion /  Changer )

Photo Google

Vous commentez à l’aide de votre compte Google. Déconnexion /  Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l’aide de votre compte Twitter. Déconnexion /  Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l’aide de votre compte Facebook. Déconnexion /  Changer )

Connexion à %s

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur la façon dont les données de vos commentaires sont traitées.