Intégrale et tramway

Infos :

  • pas de contrôle ce jeudi,
  • pas de préparation au concours général demain.

A10 – Intégrale ?

On corrige l’algorithme de la veille :

cm 2020-02-03 Sommes de Riemann et ln2

def f(x) :
    return 1/x

def sommeRiemann(a, b, n):
    x = a
    somme = 0
    largeur = (b-a) / n
    for i in range(n):
        x = x + largeur
        hauteur = f(x)
        somme = somme + hauteur * largeur
    return somme

resultat = sommeRiemann(1, 2, 10000)
print(resultat)
=== RESTART: TS1 sommes de Riemann.py ===
0.693122181184967
>>> from math import log
>>> log(2)
0.6931471805599453
>>> 

Ces sommes de Riemann peuvent s’écrire

\displaystyle \sum_{k=1}^{k=n} f\left(1+\dfrac{k}{n}\right) \times \dfrac{1}{n} = \sum f(x) \Delta x

  • f est la fonction inverse,
  • x \in \left\lbrace 1+\dfrac{1}{n}, 1 +\dfrac{2}{n}, \cdots, 1 + \dfrac{n-1}{n}, 2\right\rbrace~ (les abscisses dont les images sont les hauteurs des rectangles),
  • \Delta x = \dfrac{1}{n}~ la largeur des rectangles.

Dans le cas de la fonction inverse, l’aire du domaine délimité par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=1 et x=2 s’appelle « intégrale de 1 à 2 de x \mapsto \dfrac{1}{x} » et est notée \displaystyle \int_1^2 \dfrac{1}{x} ~\text{d}x et cette intégrale vaut en fait \ln 2, ce que nous prouverons plus tard.

Bilan :

\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \displaystyle \sum_{k=1}^{k=n} f\left(1+\dfrac{k}{n}\right) \times \dfrac{1}{n} = \displaystyle \lim_{n \to +\infty}\sum f(x) \Delta x = \displaystyle \int_1^2 f(x) ~\text{d}x = \ln 2

On compare les aires obtenues avec ces sommes de Riemann avec celles de la méthode de Monté Carlo

cm 2020-02-04 TS1 Monté-Carlo ln2

from geometrie import *
from random import random
#from math import sqrt
 
def f(x):
    return 1 / x
 
def monte_carlo(a, b, y_min, y_max, N):
    Rep=Repere(a, b, 1, y_min, y_max, 1, axe='oui', grille='oui')

    largeur = b - a
    hauteur = y_max - y_min
    compteur = 0
    
    for i in range(N):
        x = a + random() * largeur
        y = y_min + random() * hauteur

        if y <= f(x): # point sous la courbe
            Rep.trace_point(x, y, 5, "blue")
            compteur = compteur + 1
        else: # point au dessus de la courbe
            Rep.trace_point(x, y, 5, "red")
        
        # la courbe de f pour le visuel
        Rep.trace_point(x, f(x), 5, "green")
       
    frequence = compteur / N
    aire_rectangle = largeur * hauteur
    return frequence * aire_rectangle

resultat = monte_carlo(1, 2, 0, 1, 10000)
print(resultat)
======= RESTART: TS1 Monté-Carlo.py =======
0.6971
>>> 

P2 – application aux lois continues de probabilités

  • Du discret au continu,
  • tramway et loi uniforme T \sim \mathcal{U} \left([0~;~7]\right).

cm 2020-02-04 TS1 loi uniforme et tramway

N'hésitez-pas à poser une question, ou faire avancer le schmilblick

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