Bilan sur A5 – théorèmes de comparaison

Il s’agit de propriétés déjà abordées avec M. Gasser mais pas classées dans nos acquis de cours.

A5 – Théorèmes de comparaison

1. Avec des suites

Propriété 1 – « par comparaison » :

Soient deux suites \left(u_n\right) et \left(v_n\right) telles que u_n \leqslant v_n à partir d’un certain rang. Alors :

  • \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty \Rightarrow \displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n=+\infty par comparaison.
  • \displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n=-\infty \Rightarrow \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n=-\infty par comparaison.

Propriété 2 – théorème « des gendarmes » :

soient trois suites \left(u_n\right), \left(v_n\right) et \left(w_n\right) telles que u_n \leqslant v_n \leqslant w_n à partir d’un certain rang.

Alors si \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n=\displaystyle \lim_{n \to +\infty} w_n=\ell

alors \displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n=\ell

2. Avec des fonctions

Propriété 1 – « par comparaison » :

Soient deux fonctions f et g telles que f(x) \leqslant g(x) sur  un intervalle ]A~;~+\infty[. Alors :

  • \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty \Rightarrow \displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x)=+\infty par comparaison.
  • \displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x)=-\infty \Rightarrow \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty par comparaison.

Propriété 2 – « des gendarmes » :

Soient trois fonctions f, g et h telles que f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) sur  un intervalle ]A~;~+\infty[.

Alors si \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=\displaystyle \lim_{x \to +\infty} h(x)=\ell

alors \displaystyle \lim_{n \to +\infty} g(x) = \ell

Notez bien :

On a présenté ces résultats avec des limites en +\infty ~~\left(\lim_{x \to +\infty}\right) et donc avec un intervalle ]A~;~+\infty[.

Mais les même propriétés s’appliquent :

  • avec un intervalle ]-\infty~;~A[ pour des limites en -\infty ~~\left(\lim_{x \to -\infty}\right),
  • avec un intervalle ]\ell~;~A[ ou ]A~;~\ell[ pour des limites en \ell ~~\left(\lim_{x \to \ell}\right)

3. Exercices

On reprend ceux de la feuille du 29 novembre dernier avec M. Gasser :

cm 2020-01-13 TS1 A5 ex de feuille Jean-Luc

 

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