A4 – approximations de e – quelques mots sur ln et exercices

Retour sur l’approximation de \boxed{\text{e} \simeq 2,718} à l’aide de la formule (voir dernier exercice de la feuille de M. Gasser) :

\boxed{\text{e} = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n.}

Comparaison de la vitesse de convergence avec les approximations grâce à :

\boxed{\text{e} = \displaystyle \lim_{N \to +\infty} \sum_{n=0}^{n=N} \dfrac{1}{n!}}n! = \displaystyle \prod_{k=1}^{n} k = 1 \times 2 \times \cdots \times (n-1) \times n.

 

from math import exp

def approx_e(k) :
    n = 1
    u = 1
    while exp(1) - u > 10 ** -k:
        n += 1
        u = (1 + 1/n)**n
    print(n , u)

def approx_e2(k) :
    n = 0
    f = 1
    u = 1
    
    while exp(1) - u > 10 ** -k:
        n += 1
        f *= n
        u += 1/f
    print(n , u)

approx_e(6)

approx_e2(6)
1358611 2.7182808284601396
9 2.7182815255731922
>>> 

Corrections des exercices 25 à 38 pp 80-81 chacun à son rythme à l’aide des corrigés ci-dessous :

A cette occasion, quelques mots sur \ln(a) \text{ ou } \ln a, a>0 :

\boxed{\ln(a) \text{ est la solution unique de } \text{e}^x=a, a>0.}

Ainsi :

  • \ln 1 = 0
  • \ln e = 1
  • \ln 2 \simeq 0,69 \text{ tel que } \text{e}^{\ln 2} = 2
  • \ln a \text{ est tel que } \text{e}^{\ln a} = a~~\forall a > 0

cm 2019-12-11 - TS1 - A4 ln(b)

cm 2019-12-02 - TS1 - ex 25-38 pp 80-81

N'hésitez-pas à poser une question, ou faire avancer le schmilblick

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l’aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion /  Changer )

Photo Google

Vous commentez à l’aide de votre compte Google. Déconnexion /  Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l’aide de votre compte Twitter. Déconnexion /  Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l’aide de votre compte Facebook. Déconnexion /  Changer )

Connexion à %s

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur la façon dont les données de vos commentaires sont traitées.