A la découverte de la fonction exp

A2 – limites par opération

Correction des limites données la veille.

Les tableaux en question :

A4 –  À la découverte de exp – méthode d’Euler

On considère une fonction, qui s’appellerait \exp, définie et dérivable sur \mathbb{R} et qui vérifie deux propriétés : \exp' = \exp sur \mathbb{R} et \exp(0) = 1.

cm 2019-11-20 exp

On part à la recherche de cette fonction graphiquement, à la main, puis au tableur, avec la méthode d’Euler, en sachant juste avec \exp définie et dérivable sur \mathbb{R} et qui vérifie

\boxed{\left\lbrace\begin{array}{l}\exp' = \exp \text{ sur } \mathbb{R}\\\exp(0) = 1\end{array}\right.}

et en faisant une « approximation affine » soit en utilisant la tangente plutôt que la courbe avec un pas de plus en plus proche de zéro.

Ensuite, la calculatrice nous permet d’établir une table de valeurs, et d’introduire \boxed{\text{e} = \exp(1) \simeq 2,71828.}

On conjecture la relation fondamentale et deux autres :

  • \boxed{\exp(a+b)=\exp(a) \times \exp(b)~~\forall a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}.}
  • \boxed{\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}~~\forall x \in \mathbb{R}.}
  • \boxed{\exp(a-b)=\dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}~~\forall a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}.}

On a démontré les deux premières ainsi que \boxed{\exp(x) \neq 0~~\forall x \in \mathbb{R}.}

Le tableau en question :

6 réflexions au sujet de « A la découverte de la fonction exp »

  1. Bonjour monsieur,
    Je souhaiterai commencer à m’entraîner pour le devoir commun de maths mais je ne sais pas si il faut apprendre tout les chapitres.
    Merci d’avance pour votre réponse et passer une excellente journée !

    • Bonsoir,
      1) Merci de lire les réponses déjà données à l’écrit …
      2) … surtout quand elles ont déjà été données en classe !
      3) Le programme de ce contrôle sera encore précisé demain en AP.
      4) OUI, et on dit loi « binomiale » 😉
      Je ne suis pas un service « ok Marchant » comme on appellerait google !
      Bonne soirée !

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