Loi binomiale et digressions

G1 – Rendu des mini-tests de jeudi et commentaires.

cm 2019-11-07 TS1 petit test G1 équations de Romane (merci)


A3 – rendu du DM n°6 « Perle de Sluse » et commentaires.

cm 2019-11-12 TS1 re-bilan dérivabilité


P0 – loi binomiale – reprise du cours de jeudi

  • Reprise avec le QCM : le nombre de bonnes réponses et pourtant aléatoires à 9 questions pour lesquelles une seule proposition est exacte suit la loi binomiale de paramètres n=9 et p = \dfrac13 et on note X \sim \mathscr{B}(9~;~\dfrac13)
  • Modèle de rédaction :
    On a n=9 expériences successives identiques indépendantes à deux issues : succès avec la probabilité p=\dfrac13, échec avec la probabilité q=1-p=\dfrac23.
    Soit X le nombre de succès sur ces 9 expériences.
    Alors X suit une loi binomiale de paramètres n=9 et p=\dfrac13 et on a \boxed{p(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}} soit ici \boxed{p(X=k)=\binom{9}{k}\left(\dfrac13\right)^k\left(\dfrac23\right)^{9-k}} pour k entier naturel plus petit que n.
  • Les calculs peuvent se faire ainsi …
    • p(X=0)=\displaystyle\binom{9}{0}\left(\dfrac13\right)^0\left(\dfrac23\right)^{9}=\dfrac{512}{19683} \simeq 0,026 est la probabilité de ne pas avoir de bonne réponse ;
    • p(X=1)=\displaystyle\binom{9}{1}\left(\dfrac13\right)^1\left(\dfrac23\right)^{8}=\dfrac{256}{2187} \simeq 0,117 est la probabilité d’avoir une bonne réponse ;
    • p(X \leqslant 1) = p(X=0)+p(X=1) \simeq 0,143 est la probabilité d’avoir au plus une bonne réponse.
  • … mais en pratique ils sont implémentés dans la calculatrice :
      • Sur Casio,
        • BinomialPD(1,9,1/3) donne p(X=1)\simeq 0,117
        • BinomialCD(1,9,1/3) donne p(X \leqslant 1)\simeq 0,143.
      • Sur TI,
        • binomFDP(9,1/3,1) donne p(X=1)\simeq 0,117
        • binomFrép(9,1/3,1) donne p(X \leqslant 1)\simeq 0,143
      • Sur Numworks :
        cm 2019-11-12 TS1 numworks binomiale screenshotcm 2019-11-12 TS1 numworks binomiale screenshot(1)cm 2019-11-12 TS1 numworks binomiale screenshot(2)cm 2019-11-12 TS1 numworks binomiale screenshot(3)cm 2019-11-12 TS1 numworks binomiale screenshot(4)cm 2019-11-12 TS1 numworks binomiale screenshot(5)cm 2019-11-12 TS1 numworks binomiale screenshot(6)cm 2019-11-12 TS1 numworks binomiale screenshot(7)
      • Notez que le dernier écran où l’on a p (X \geqslant 2) \simeq 0,857 n’est pas évident à trouver ailleurs, mais on fait souvent p (X \geqslant 2) = 1 - p(X \leqslant 1) \simeq 1 - 0,143 \simeq 0,857.
      • On demande d’ailleurs souvent la probabilité de l’événement « au moins un succès », et il est habile de penser à l’événement contraire « aucun succès » et donc de calculer  p (X \geqslant 1) = 1 - p(X = 0) à l’aide de la calculatrice.
  • L’espérance de X, soit le nombre de succès moyen qu’on peut attendre sur un grand nombre de QCMs est \boxed{\text{E}(X)=np} soit ici \boxed{\text{E}(X)=9 \times \dfrac13 = 3}, ce qui semble somme toute logique.
  • La variance est \boxed{\text{V}(X)=npq} et l’écart-type \boxed{\sigma_X=\sqrt{\text{V}(X)}=\sqrt{npq}}

Digression : triangle de Pascal et binôme de Newton

(a+b)^0 = 1

(a+b)^1 = 1a+1b

(a+b)^2 = 1a^2+2ab+1b^2

(a+b)^3 = 1a^3+3a^2b+3ab^2+1b^3

(a+b)^4 = 1a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+1b^4

\boxed{(a+b)^n = \displaystyle \sum_{p=0}^{p=n} \binom{n}{p}a^pb^{n-p}.}

Application :

  • (2x +3)^3=(2x)^3+3\times (2x)^2\times 3 + 3 \times 2x \times 3^2 + 3^3
    Soit \boxed{(2x +3)^3=8x^3+36x^2+54x+27.}
  • (1 +\text{i})^4=1^4+4\times 1^3\times \text{i} +6\times 1^2\times \text{i}^2 +4\times 1\times \text{i}^3+ \text{i}^4
    donc (1 +\text{i})^4=1 + 4\text{i} -6 -4\text{i} + 1.
    Soit \boxed{(1 +\text{i})^4=-4.}

Le tableau du jour :

newton.aspx_

2 réflexions au sujet de « Loi binomiale et digressions »

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