Corrections et petit test

A1 – corrections :

Somme des cubes :

Soit la propriété \mathcal{P}(n) : « 1^3+2^3+ ... + n^3 = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2 ».

Montrons que \mathcal{P}(n) est vraie \forall n \in \mathbb{N}^{*}.

Initialisation. On a : \left[\dfrac{1(1+1)}{2}\right]^2=1=1^3. Donc \mathcal{P}(1) est vraie.

Hérédité. Supposons que \mathcal{P}(k) soit vraie pour un entier k \geqslant 1 (hypothèse de récurrence) et montrons que \mathcal{P}(k+1) est encore vraie.

On a : 1^3+2^3+ ... + k^3 = \left[\dfrac{k(k+1)}{2}\right]^2 (hypothèse de récurrence)

Donc 1^3+2^3+ ... + k^3 + (k+1)^3 = \left[\dfrac{k(k+1)}{2}\right]^2 +(k+1)^3

donc 1^3+2^3+ ... + k^3 + (k+1)^3 = \dfrac{k^2(k+1)^2}{4} + \dfrac{4 \times (k+1)^3}{4}

soit 1^3+2^3+ ... + k^3 + (k+1)^3 = \dfrac{k^2(k+1)^2}{4} + \dfrac{4 \times (k+1) \times (k+1)^2}{4}

En mettant \dfrac{(k+1)^2}{4} en facteur, il vient :

1^3+2^3+ ... + k^3 + (k+1)^3 = \dfrac{(k+1)^2[k^2+4(k+1)]}{4}

Donc 1^3+2^3+ ... + k^3 + (k+1)^3 =\dfrac{(k+1)^2[k^2+4k+4]}{4}

puis 1^3+2^3+ ... + k^3 + (k+1)^3 =\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}

Enfin 1^3+2^3+ ... + k^3 + (k+1)^3 =\left[\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^2

Donc \mathcal{P}(k+1) est encore vraie.

Conclusion. \mathcal{P}(n) est bien initialisée et héréditaire donc elle est vraie \forall n \in \mathbb{N}^{*}.

Variations de la suite laissées en suspens :

\left(u_n\right) définie par récurrence par \left\lbrace\begin{array}{l}u_0=1\\u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\end{array}\right.


P1 – Exercices

Correction des exercices donnés la veille :


Test 30-40 minutes

  • A0 définitions et variations,
  • une démonstration par récurrence.

Le sujet :

Une belle copie (merci Ahmed) :

cm 2019-09-18 TS1 test copie Ahmed (merci) 1cm 2019-09-18 TS1 test copie Ahmed (merci) 2cm 2019-09-18 TS1 test copie Ahmed (merci) 3Ouh mais il manque des choses… celle-ci est mieux :

cm 2019-09-18 TS1 test copie Théo (merci) ex3

Merci Théo 😉

N'hésitez-pas à poser une question, ou faire avancer le schmilblick

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l’aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion /  Changer )

Photo Google

Vous commentez à l’aide de votre compte Google. Déconnexion /  Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l’aide de votre compte Twitter. Déconnexion /  Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l’aide de votre compte Facebook. Déconnexion /  Changer )

Connexion à %s

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur la façon dont les données de vos commentaires sont traitées.