Suites : bilan et beaux problèmes

On commence par montrer cette animation (code python/turtle en cliquant sur « lire la suite ») 😀

cm 2017-05-24 aire des triangles turtle TP C page 176

L’aire du carré jaune est 1. Vers quelle valeur tend la somme des aires des triangles verts ?

Il s’agit en fait du TP C page 176. On le termine proprement et on note dans le cours :

\boxed{\begin{array}{c}\text{Si }\boxed{-1<q<1}\text{ alors } \boxed{\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n=0.}\end{array}}


Correction du contrôle de jeudi dernier avec Madame Rydzek.


Utilisation d’une suite auxiliaire :

cm 2019-05-24 1S1 ex complémentaires suites

On a fait de nombreux commentaires sur les contrôles et considérations sur les suites.

Un vieux tableau de synthèse :

Les exercices 1 à 3 ont été distribués, sont à travailler pour le 3 juin et sont corrigés sur le …

Tableau du jour :


from turtle import *
from math import sqrt

def carre(l):
    fillcolor("yellow")
    begin_fill()
    for i in range(4) :
        forward(l)
        left(90)
    end_fill()

def triangle(l):
    global aireTotale
    fillcolor("green")
    begin_fill()
    right(90)
    forward(l)
    left(90)
    forward(l)
    aire=((l/longueurInitiale)**2)/2
    write("  Aire de ce triangle : "+str(aire))
    aireTotale+=aire
    left(135)
    forward(l*sqrt(2))
    end_fill()

longueur=longueurInitiale=400

aireTotale=0
#speed("fast")
up()
goto(-300,200)
right(90)
down()

carre(longueur)
left(90)

for i in range(6):
    triangle(longueur)
    up()
    longueur=longueur//2
    right(135)
    forward(longueur)
    down()

up()
goto(-200,-250)
write("  Aire totale des triangles : "+str(aireTotale))

8 réflexions au sujet de « Suites : bilan et beaux problèmes »

  1. Bonsoir,
    Je devais vous rappeler de mettre en ligne votre tableau récapitulatif sur les suites arithmétiques et géométriques 🙂

    Merci et bonne soirée

  2. Bonjour monsieur, je ne comprends pas pourquoi on a mis 1,04 en facteur à la question 2b) ni comment cela est possible.
    Bonne soirée

  3. Bonjour,
    Merci pour THE QUESTION, celle que j’attendais, pour pouvoir expliquer !!
    On est au cœur du problème : la suite auxiliaire \left(u_n\right)( « qui aide » ) n’aidera que si elle est d’une nature bien répertoriée.
    Ici, comme souvent, elle est géométrique. Mais il faut le montrer.
    Il s’agit donc de montrer que \left(u_n\right) est géométrique, donc que \forall n \in \mathbb{N}, ~~u_{n+1}=q \times u_n, où q est une constante réelle.
    La suite \left(u_n\right) sera alors géométrique, de raison q, et de premier terme u_0 ou u_1 selon les problèmes.
    Alors dans l’ordre, première question : comment trouver q ?
    \triangleright On regarde la relation de récurrence C_{n+1}=1,04 \times C_n -20,8 de la suite principale \left(C_n\right) pour lire le coefficient qui multiplie C_n : on conjecture que q=1,04.
    Alors toujours dans l’ordre, deuxième question : comment montrer que \forall n \in \mathbb{N}, ~~u_{n+1}=1,04 \times u_n ? Deux méthodes :
    \triangleright celle du tableau part de \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\cdots en supposant u_n \neq 0 pour obtenir \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\cdots=1,04~~\forall n \in \mathbb{N}.
    Le passage difficile ici est lié au fait qu’on sait qu’on veut \boxed{1,04} au final, donc on le met en facteur au numérateur 1,04u_n -540,8=1,04\left(u_n - \dfrac{540,8}{1,04}\right), ce qui est juste \triangleright vérifier en développant.
    Puisque \dfrac{540,8}{1,04}=520, il vient 1,04u_n -540,8=1,04\left(u_n - 520\right) et on simplifie par \left(u_n - 520\right) dont on espère qu’il est non nul.
    A vrai dire, on n’utilise plus trop cette méthode aujourd’hui : trop de technicité et de suppositions. J’en donne une autre, plus commune :
    \triangleright On peut aussi partir de u_{n+1}=\cdots et obtenir q \times u_n. On est donc sur une méthode \boxed{u_{n+1}=\cdots=1,04 \times u_n} pour montrer que \left(u_n\right) est géométrique de raison q=1,04.
    On a u_{n+1}=C_{n+1}-520 puisque \boxed{u_n=C_n-520~~\forall n \in \mathbb{N}}.
    Il vient u_{n+1}=\boxed{1,04 \times C_n-20,8} -520 puisque \boxed{C_{n+1}=1,04 \times C_n -20,8~~\forall n \in \mathbb{N}} dans l’énoncé.
    D’où u_{n+1}=1,04 \times C_n-540,8. Jusque là, on a fait comme au numérateur dans la méthode précédente.
    Mais puisque \boxed{u_n=C_n-520~~\forall n \in \mathbb{N}}, on a aussi \boxed{C_n=u_n+520~~\forall n \in \mathbb{N}}.
    Il vient donc
    u_{n+1}=1,04 \times C_n-540,8
    \Leftrightarrow u_{n+1}=1,04 \times \left(u_n+520\right)-540,8
    \Leftrightarrow u_{n+1}=1,04 \times u_n+1,04 \times 520 -540,8
    \Leftrightarrow u_{n+1}=1,04 \times u_n+540,8 -540,8
    \Leftrightarrow \boxed{u_{n+1}=1,04 \times u_n} et ce \forall n \in \mathbb{N}.
    La suite \left(u_n\right) est alors géométrique, de raison \boxed{q=1,04}, et de premier terme u_0=C_0-520=1000-520 soit de premier terme \boxed{u_0=9480}.
    Il vient \boxed{u_n=u_0 \times q^n} soit \boxed{u_n=9480 \times 1,04^n ~~\forall n \in \mathbb{N}.}
    Et, puisque \boxed{C_n=u_n+520~~\forall n \in \mathbb{N}}, il vient enfin :
    \boxed{C_n=520+9480 \times 1,04^n~~\forall n \in \mathbb{N}.}
    Notez bien :
    \bullet On ne craque pas à deux mètres du bol de sangria : on ne peut pas simplifier cette expression, ni en faisant la somme, ni le produit, car il faut respecter les priorités !
    \bullet La suite \left(u_n\right) n’apparaît plus : c’est la suite \left(C_n\right) du problème qui nous intéresse. Mais, sans \left(u_n\right) géométrique, on n’aurait pas pu avoir l’expression explicite \boxed{C_n=520+9480 \times 1,04^n~~\forall n \in \mathbb{N}.} C’est pour cela que \left(u_n\right) géométrique est auxiliaire.

  4. Bonsoir,
    Ah oui, augmenter de 4%, c’est multiplier par 1,04.
    Par exemple 100 € augmentés de 4% donnent 100 € + 4 € = 104 € mais on peut aussi faire 100 \times 1,04=104 directement.
    On apprend ça en ES, et en seconde dès 2019 😉
    Par ailleurs, baisser de 4%, c’est multiplier par 0,96.
    Bonne soirée !

  5. Bonjour monsieur,
    Dans l’exercice 3 de la feuille sur les suite, à la question 2.b il est demandé de calculer le V en fonction de Vk or vous avez écrit : V= V0+…..Vn
    Le volume n’est pas censé s’arrêter à n+1 ?
    J’aimerai savoir pourquoi on s’arrête à Vn et non Vn.
    Merci d’avance

    • Bonsoir, merci pour ta question !
      Alors, on veut V en fonction des V_k :
      il y a (n+1) boules et on additionne V_0 de rayon 1 puis les volumes délimités par deux sphères consécutives, le dernier est bien V_n qui est le volume délimité par la sphère de rayon (n+1) à laquelle on enlève celle de raison n, on va donc bien jusqu’au rayon (n+1) en s’arrêtant à V_n.
      On a donc bien V =\displaystyle \sum_{k=0}^{k=n} V_k=V_0+V_1+\cdots+V_n
      Bon courage !

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