Retour : la dérivée comme outil pour les variations

On travaille dans l’ordre, avant de vérifier en demandant l’aide du professeur 🙂 :

cm 2019-05-20 1S1 courbe ex89p116

Tout ceci doit être bossé pour demain, on pourra répondre à des questions demain même si l’objectif principal sera la correction du fake test produit scalaire.

Cette correction est d’ores et déjà en ligne ici.

Demain à 15h30, test 1h30 en salle K.0.2. :

  • dérivée et sens de variation,
  • produit scalaire.

 

5 réflexions au sujet de « Retour : la dérivée comme outil pour les variations »

  1. Bonsoir,

    J’ai énormement de mal avec les exercices donnés, ça promet d’être du lourd pour l’interro …
    Cependant je me permet quand même de pser la question suivante : Pourquoi quand on dérive la fonction de l’aire dans l’exercice 91, on obtient comme dans le corrigé -2000/R^2 + 4piR ? Autant dériver je veut bien mais de la à comprendre pourquoi ce 2000 devient négatif et pourquoi ce R prend un carré, j’ai du chemin … Merci d’avance, bonne soirée et à demain

    • On a utilisé \left(\dfrac{1}{r}\right)'=-\dfrac{1}{r^2} et \left(r^2\right)'=2r.
      Mais tu l’as trouvé !
      Après on finit le calcul :
      A'(x)=2000 \times \left(-\dfrac{1}{r^2}\right)+2\pi \times 2r sur ]0~;~+\infty[.
      Donc A'(x)=\dfrac{-2000}{r^2}+4\pi r.
      Puis on met au même dénominateur :
      A'(x)=\dfrac{-2000}{r^2}+\dfrac{4\pi r}{1}
      et A'(x)=\dfrac{-2000}{r^2}+\dfrac{4\pi r \times r^2}{r^2}.
      Enfin \boxed{A'(x)=\dfrac{-2000+4 \pi r^3}{r^2}=\dfrac{4( \pi r^3-500)}{r^2}} sur ]0~;~+\infty[.
      Cette dérivée est du signe de ( \pi r^3-500) car r^2>0 et 4>0 sur ]0~;~+\infty[.
      Elle s’annule quand \pi r^3-500=0 soit \pi r^3=500,
      c’est-à-dire r^3=\dfrac{500}{\pi} soit \boxed{r=\sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}}.}

  2. Bonsoir, je ne parviens pas à faire l’exercice 89 p 117, j’ai compris qu’il s’agit d’appliquer les dérivés mais ma compréhension s’arrête là. J’ai aussi essayé mais cela donne un calcul que je n’arrive pas à résoudre, comment faire ?
    Merci d’avance et bonne soirée

  3. Bonsoir !
    On demande le maximum.
    Il nous faut donc les variations de f, données par le signe de f'(x) sur ]0~;~+\infty[.
    Or cette dérivée est donnée par le logiciel : \boxed{f'(x)=-\dfrac{3(x-1)(x+1)\sqrt{x}}{2x(x^2+3)}.}
    Tous les facteurs sont positifs sur ]0~;~+\infty[ sauf (x-1) et le «-» devant !
    Donc f'(x) est du signe de -(x-1)=(1-x) sur ]0~;~+\infty[.
    Donc f'(x)>0 sur ]0~;~1[ et f'(x)<0 sur ]1~;~+\infty[.
    Donc f est strictement croissante sur [0~;~1] puis strictement décroissante sur [1~;~+\infty[.
    Voir courbe dans l’article ci-dessus !
    Elle admet donc un maximum en 1 et ce maximum vaut \boxed{f(1)=\dfrac{\sqrt{1}}{1^2+3}=\dfrac14=0,25.}

    N.B. : ici, on ne demandait pas de calculer la dérivée.
    Pour les plus motivés, on peut : f est dérivable sur ]0~;~+\infty[ en tant que quotient de deux fonctions dérivables sur ]0~;~+\infty[, le dénominateur ne s’annulant pas.
    On a f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x^2+3}=\dfrac{u}{v} sur ]0~;~+\infty[ avec \left\lbrace\begin{array}{l}u=\sqrt{x}\\u'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\end{array}\right. et \left\lbrace\begin{array}{l}v=x^2+3\\v'=2x\end{array}\right..
    Il vient f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times (x^2+3)-\sqrt{x}\times 2x}{(x^2+3)^2}.
    D’où f'(x)=\dfrac{\dfrac{x^2+3}{2\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}\times 2x \times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}{(x^2+3)^2}.
    Puis f'(x)=\dfrac{x^2+3-4x^2}{2\sqrt{x}(x^2+3)^2}.
    Enfin f'(x)=\dfrac{(-3x^2+3) \times \sqrt{x}}{2\sqrt{x} \times \sqrt{x} \times (x^2+3)^2}.
    Ce qui donne f'(x)=\dfrac{-3(x^2-1)\sqrt{x}}{2x\times (x^2+3)^2}=\boxed{-3\dfrac{(x-1)(x+1)\sqrt{x}}{2x (x^2+3)^2}} sur ]0~;~+\infty[.

N'hésitez-pas à poser une question, ou faire avancer le schmilblick

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