Croissances comparées

Question « flash » : étudier f:x \mapsto \left(x^2-4x\right)\text{e}^x et dresser son tableau de variations sur \mathbb{R}. Limite en +\infty ?

Pendant ce temps, rendu du DM de mars et ramassage du DM d’avril.

La limite en -\infty  pose problème, on introduit la notion de croissances comparées , déjà maintes fois expliquées à l’oral.

Les notes de Fred, merci :

Cours – croissances comparées et formulaire

  • \boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n}=+\infty}
  • \boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=0}
  • \boxed{\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^n \text{e}^x=0}
  • \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} x^n \ln x=0}

Exemples en +\infty :

  • f(x)=x - \ln x
    L’énoncé nous propose de montrer que pour x>0, on a f(x)=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)
    Or \boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0 \text{ (cours, croissances comparees).}}
    Donc \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)=1 \text{ (par somme)}.
    Enfin \boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty \text{ (par produit)}.}
  • g(x)=\text{e}^x-x^2
    L’énoncé nous propose de montrer que pour x>0, on a g(x)=x^2\left(\dfrac{\text{e}^x}{x^2}-1\right)
    Or \boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^2}=+\infty \text{ (cours, croissances comparees).}}
    Donc \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{\text{e}^x}{x^2}-1\right)=+\infty \text{ (par somme)}.
    Enfin \boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x)=+\infty \text{ (par produit)}.}

Exercice 45 page 168 commencé en classe et à rédiger sur feuille pour mardi prochain :

cm 2019-04-30 ex 45 page 168

On voudra peut-être aller réviser ici aussi pour les asymptotes obliques

Graphes probabilistes et suites – algorithmes