Exercices, ln(u), et « plus petit rang tel que » avec ln

Échauffement :

Retrouver l’aire entre ces deux courbes à l’aide d’une intégrale :

cm 2019-01-23 tsti2d échauffement aire entre deux courbes

On doit calculer \mathcal{A}=\displaystyle \int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \left(f(x)-g(x)\right)\text{d}x.

On a \mathcal{A}=\displaystyle \int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \left(f(x)-g(x)\right)\text{d}x=\displaystyle \int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \left(\dfrac1x-\dfrac{1}{x^2}\right)\text{d}x.

D’où \mathcal{A}=\left[\ln x +\dfrac1x\right]_{\text{e}}^{\text{e}^2}=\left(\ln\left({\text{e}^2}\right)+\dfrac{1}{\text{e}^2}\right)-\left(\ln\left({\text{e}}\right)+\dfrac{1}{\text{e}}\right).

\mathcal{A}=\left(2+\dfrac{1}{\text{e}^2}\right)-\left(1+\dfrac{1}{\text{e}}\right)=2+\dfrac{1}{\text{e}^2}-1-\dfrac{1}{\text{e}}.

Donc l’aire cherchée est \boxed{\mathcal{A}=1+\dfrac{1}{\text{e}^2}-\dfrac{1}{\text{e}}\simeq 0,767 \text{ u.a.}}


Calcul de dérivées et parfois étude de variations (non demandé, mais complément instructif) – correction des exercices 20 et 21 page 133 :

20. a) \boxed{f(t)=3t+1-3 \ln t \text{ sur } \left]0~;~+\infty\right[}

f'(t)=3-3 \times \dfrac1t donc \boxed{f'(t)=3-\dfrac3t=\dfrac{3t-3}{t}=\dfrac{3(t-1)}{t}.}

Remarque :  Pour étudier les variations de f, on étudie le signe de f'(t) sur \left]0~;~+\infty\right[.

De plus f'(t) est du signe de (t-1) car 3>0 et t>0 sur \left]0~;~+\infty\right[.

Or t-1>0 \Leftrightarrow t>1.

Donc f'(t)>0 sur \left]1~;~+\infty\right[ et f'(t)<0 sur \left]0~;~1\right[.

Donc f est strictement croissante sur \left]1~;~+\infty\right[ et strictement décroissante sur \left]0~;~1\right[.

b) \boxed{f(x)=x^2+1+2 \ln x \text{ sur } \left]0~;~+\infty\right[}

f'(x)=2x+2 \times \dfrac1x donc \boxed{f'(x)=2x+\dfrac2x=\dfrac{2x^2+2}{x}=\dfrac{2(x^2+1)}{x}.}

Remarque :  Pour étudier les variations de f, on étudie le signe de f'(x) sur \left]0~;~+\infty\right[.

Or f'(x)>0 sur \left]0~;~+\infty\right[, car x>0.

Donc f est strictement croissante sur \left]0~;~+\infty\right[.

c) \boxed{f(x)=\dfrac{x^3}{3}+38x-80x \ln x \text{ sur } \left]0~;~+\infty\right[}

On a f(x)=\dfrac{x^3}{3}+38x-u \times v \text{ avec }\left\lbrace\begin{array}{l}u=80x\\u'=80\end{array}\right. \text{ et }\left\lbrace\begin{array}{l}v=\ln x\\v'=\dfrac1x \end{array}\right.

Donc f'(x)=\dfrac{3x^2}{3}+38-\left(u'v+uv'\right)=x^2+38-\left(80 \times \ln x +80x \times \dfrac1x\right).

Il vient f'(x)=x^2+38-80 \ln x -80 soit \boxed{f'(x)=x^2-80 \ln x -42.}

21. a) \boxed{f(x)=x^2 \ln x \text{ sur } \left]0~;~+\infty\right[}

On a f(x)=u \times v \text{ avec }\left\lbrace\begin{array}{l}u=x^2\\u'=2x\end{array}\right. \text{ et }\left\lbrace\begin{array}{l}v=\ln x\\v'=\dfrac1x \end{array}\right.

Donc f'(x)=u'v+uv'=2x \times \ln x +x^2 \times \dfrac1x soit \boxed{f'(x)=2x \ln x +x.}

Remarque : on peut aussi écrire \boxed{f'(x)=x \left(2\ln x +1\right).}

Pour étudier les variations de f, on étudie le signe de f'(x) sur \left]0~;~+\infty\right[.

De plus f'(x) est du signe de \left(2\ln x +1\right) car x>0 sur \left]0~;~+\infty\right[.

Or 2\ln x +1>0 \Leftrightarrow 2\ln x>-1 \Leftrightarrow \ln x >-\dfrac12 \Leftrightarrow \ln x >-\dfrac12 \ln \text{e}

\Leftrightarrow \ln x >-\ln\left(\sqrt{\text{e}}\right) \Leftrightarrow \ln x >\ln\left(\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}\right) \Leftrightarrow x >\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}.

Donc f'(x)>0 sur \left]\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}~;~+\infty\right[ et f'(x)<0 sur \left]0~;~\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}\right[.

Donc f est strictement croissante sur \left]\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}~;~+\infty\right[ et strictement décroissante sur \left]0~;~\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}\right[.

b) \boxed{f(x)=\dfrac{x+3 \ln x}{x} \text{ sur } \left]0~;~+\infty\right[}

On a f(x)=1+3 \times \dfrac{\ln x}{x}= 1 +3 \times\dfrac{u}{v} \text{ avec }\left\lbrace\begin{array}{l}u=\ln x\\u'=\dfrac1x\end{array}\right. \text{ et }\left\lbrace\begin{array}{l}v=x\\v'=1 \end{array}\right.

Donc f'(x)=0+3 \times \dfrac{u'v-uv'}{v^2}=3 \times \dfrac{\dfrac1x \times x -\ln(x) \times 1}{x^2} soit \boxed{f'(x)=\dfrac{3\left(1-\ln(x)\right)}{x^2}.}

Remarque : pour étudier les variations de f, on étudie le signe de f'(x) sur \left]0~;~+\infty\right[.

De plus f'(x) est du signe de \left(1-\ln x\right) car x^2>0 \text{ et } 3>0 sur \left]0~;~+\infty\right[.

Or 1-\ln x>0 \Leftrightarrow 1>\ln x \Leftrightarrow \ln \text{e} >\ln x \Leftrightarrow \text{e}>x.

Donc f'(x)>0 sur \left]0~;~\text{e}\right[ et f'(x)<0 sur \left]\text{e}~;~+\infty\right[.

Donc f est strictement croissante sur \left]0~;~\text{e}\right[ et strictement décroissante sur \left]\text{e}~;~+\infty\right[.


Derniers éléments de cours :

  • \left(\ln(u)\right)'=\dfrac{u'}{u} pour une fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I.
  • \ln(u) a alors les mêmes variations que u sur I.

Exemple de l’exercice 24 page 133 :cm 2019-01-23 tsti2d 24p133

a) f(x)=\ln(u) avec \left\lbrace\begin{array}{l}u=x-4>0\\u'=1\end{array}\right. sur ]4~;~+\infty[.

Donc f'(x)=\dfrac{u'}{u} soit \boxed{f'(x) =\dfrac{1}{x-4}} sur ]4~;~+\infty[.

Remarque : f'(x)>0 sur ]4~;~+\infty[. donc f est strictement croissante sur ]4~;~+\infty[.

b) f(x)=\ln(u) avec \left\lbrace\begin{array}{l}u=1+x^2>0\\u'=2x\end{array}\right. sur \mathbb{R}.

Donc f'(x)=\dfrac{u'}{u} soit \boxed{f'(x) =\dfrac{2x}{x^2+1}} sur \mathbb{R}.

Remarque : pour étudier les variations de f, on étudie le signe de f'(x) sur \mathbb{R}.

De plus f'(x) est du signe de 2x car x^2+1>0 sur \mathbb{R}.

Donc f'(x)<0 sur \left]-\infty~;~0\right[ et f'(x)>0 sur \left]0~;~+\infty\right[.

Donc f est strictement décroissante sur \left]-\infty~;~0\right[  et strictement décroissante sur \left]0~;~+\infty\right[.

c) On laisse tomber ce \dfrac1v avec v=\ln u, fait rapidement en classe. Les plus motivés peuvent le refaire et me montrer.

Refaire 24 a) et b) ci-dessus et faire le 25 page 133 pour jeudi prochain : cm 2019-01-23 tsti2d 25p133


Plus petit rang tel que :

  • q^n>A avec q>1,
  • q^n<A avec 0<q<1.

Exemple de l’exercice 34 page 134 :

cm 2019-01-23 tsti2d 34p134

1. On a (1,045)^n \geqslant 2

\Leftrightarrow \ln\left((1,045)^n\right) \geqslant \ln(2) car ln est strictement croissante

\Leftrightarrow n\ln(1,045) \geqslant \ln(2)

\Leftrightarrow n \geqslant \dfrac{\ln(2)}{\ln(1,045)} \text{ car } \ln(1,045)>0

\Leftrightarrow n \geqslant 15,7473

\Leftrightarrow \boxed{n \geqslant 16} car n entier positif.

2. On a (0,9)^n \leqslant 0,5

\Leftrightarrow \ln\left((0,9)^n\right) \leqslant \ln(0,5) car ln est strictement croissante

\Leftrightarrow n\ln(0,9) \leqslant \ln(0,5)

\Leftrightarrow n \geqslant \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,9)} \text{ car } \ln(0,9)<0

\Leftrightarrow n \geqslant 6,5788

\Leftrightarrow \boxed{n \geqslant 7} car n entier positif.

Refaire le 34 page 134 ci-dessus et faire l’exercice 35 page 135 pour jeudi prochain :

cm 2019-01-23 tsti2d 35p135


Petit test de fin d’heure :

N'hésitez-pas à poser une question, ou faire avancer le schmilblick

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