Sens de variation

Correction des sens de variations des fonctions :

  • carré x \mapsto x^2 sur \mathbb{R}^{-},
  • affine x \mapsto ax+b, a \in \mathbb{R}^{*} et b \in \mathbb{R}.

Sens de variation des fonctions

  • inverse x \mapsto \dfrac{1}{x} sur \mathbb{R}^{-*} et sur \mathbb{R}^{+*},
  • racine x \mapsto \sqrt{x} sur \mathbb{R}^{+}.

Tout ceci sera rédigé dans le cours distribué en janvier :

Application aux variations de fonctions

  • f définie sur \mathbb{R} par f(x)=2(x-3)^2+5,
  • g définie sur \mathbb{R} par g(x)=\sqrt{2(x-3)^2+5},
  • h définie sur \mathbb{R} par h(x)=\dfrac{1}{2(x-3)^2+5}.

Bilan sens de variation :

  • f strictement croissante sur un intervalle I \Leftrightarrow x_1 < x_2 \text{ dans }I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2).
  • f strictement décroissante sur un intervalle I \Leftrightarrow x_1 < x_2 \text{ dans }I \Rightarrow f(x_1)> f(x_2).

Mais aussi :

  • Si u définie et positive sur I \Rightarrow f définie par f(x)=\sqrt{u(x)} sur I a les mêmes variations que u sur I.
  • Si u définie et ne s’annulant pas sur I \Rightarrow f définie par f(x)=\dfrac{1}{u(x)} sur I a des variations contraires à u sur I.

Le tableau :

Exercices pour le 14 janvier:

  • reprendre ce cours
  • page 45 et 47, applications directes,
  • exercice 93 page 61.

Bonne fin d’année et d’ores et déjà belle année 2019 !

AP – Découverte d’une nouvelle fonction : le logarithme népérien

Activité python : découverte de ln par la méthode de Monté Carlo

On définit la fonction ln à l’aide de la courbe de la fonction inverse, ainsi, pour x>1, il s’agit de l’aire sous la courbe de la fonction inverse entre les abscisse 1 et x.

On a donc \boxed{\ln(x)=\displaystyle \int_{1}^{x} \dfrac{1}{t}\,\text{d}t.}

Méthode de Monté-Carlo :

  • On se fixe une zone graphique, ici par exemple de 1 à 6 sur l’axe des abscisses, et de zéro à un sur l’axe des ordonnées,
  • on a alors une fenêtre graphique d’aire (6-1) \times (1-0)=5 \times 1=5 \text{ u.a.}.
  • On effectue N tirages aléatoires, par exemple N=10000 de deux coordonnées dans cette fenêtre :
    • 1 \leqslant x \leqslant 6,
    • 0 \leqslant y \leqslant 1.
  • On compte le nombre n parmi ces N points M(x~;~y) sous la courbe entre 1 et 6 :
    • 1 \leqslant x \leqslant 6,
    • 0 \leqslant y \leqslant \dfrac{1}{x}.
  • On en détermine la fréquence freq=\dfrac{n}{N},
  • L’aire cherchée est approximativement \ln(6)\simeq freq \times 5 \text{ u.a.}.

Ce code pour \ln(6) :

from geometrie import *
from random import random

def f(x):
    return 1/x

def monteCarlo(a,b,M,N):
    #Définition du repère
    Rep=Repere(a,b,1,0,M,1,axe='oui',grille='oui')
    compteur=0
    
    for i in range(N):
        x=a+random()*(b-a)
        y=random()*M
        if y<=f(x):
            Rep.trace_point(x,y,5,"red")
            compteur=compteur+1
        else :
            Rep.trace_point(x,y,5,"blue")
        Rep.trace_point(x,f(x),5,"green")

    frequence=compteur/N
    aire=frequence*M*(b-a)

    print("L'aire vaut à peu près",aire,"u.a.")
    
    return aire

    
monteCarlo(1,6,1,10000)

Donne

L'aire vaut à peu près 1.7854999999999999 u.a.
>>> 

Et cette image 😉

et ce code

for i in range (1,11):
    monteCarlo(1,i,1,1000000)
L'aire vaut à peu près ln(1) soit  0.0 u.a.
L'aire vaut à peu près ln(2) soit  0.692858 u.a.
L'aire vaut à peu près ln(3) soit  1.09968 u.a.
L'aire vaut à peu près ln(4) soit  1.386744 u.a.
L'aire vaut à peu près ln(5) soit  1.612508 u.a.
L'aire vaut à peu près ln(6) soit  1.79253 u.a.
L'aire vaut à peu près ln(7) soit  1.944636 u.a.
L'aire vaut à peu près ln(8) soit  2.0803860000000003 u.a.
L'aire vaut à peu près ln(9) soit  2.20124 u.a.
L'aire vaut à peu près ln(10) soit  2.3030909999999998 u.a.
>>> 

On constate en fin de séance que

  • \ln(6)=\ln(2 \times 3)=\ln(2)+\ln(3)
  • \ln(8)=\ln(2 \times 4)=\ln(2)+\ln(4)
  • \ln(9)=\ln(3 \times 3)=\ln(3)+\ln(3)

Bonne fin d’année et d’ores et déjà belle année 2019 !

Asymptotes, position relative

Correction des exercices 28 et 31 pages 69-70.

Position relative : on utilise le « leitmotiv » déjà vu lors des exercices de calcul intégral (aire entre deux courbes):

« pour comparer deux nombres, on étudie le signe de la différence »

Exercices :

  • 38 page 72 avec une recherche de coefficients à l’aide d’informations graphiques comme des asymptotes,

cm 2018-12-20 TSTI2D exercices 38 page 72 tableau

Exercices commencés et à finir en DM n°4 pendant les vacances, pour le 15 janvier :

  • 30 page 70 avec une transformation d’écriture,
  • 41 page 72 avec des variations en plus des asymptotes et une dérivée \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.

 

Lire la suite

Fonctions de référence : activités

Activités d’approche, pour discuter « valeur absolue » et « racine carrée » en parlant de la même chose 😉

  • 1 page 42 : la fonction racine carrée,
  • 2 page 42 :
    • comparaisons d’un nombre, de sa racine carrée et de son carré,
    • application du Leitmotiv « pour comparer deux nombres, on étudie le signe de sa différence »,
    • découverte de la « multiplication par l’expression conjuguée » pour des différences avec les racines.

Sens de variation des fonctions : des preuves

  • Principe,
  • fonction carré x \mapsto x^2, sur \mathbb{R}^{+}.

Le tableau :

Pour demain :

  • Refaire !
  • fonction carré x \mapsto x^2, sur \mathbb{R}^{-},
  • fonction affine x \mapsto ax+b, a \in \mathbb{R}^{*} et b \in \mathbb{R}.

Asymptotes puis test (suites et limites)

Reprise du cours :

V. Asymptotes

  • si \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=b ou \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=bb \in \mathbb{R}, alors la courbe de f admet une asymptote horizontale d’équation y=b,
  • si \displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=+\infty ou \displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=-\infty (à gauche ou à droite de a \in \mathbb{R}), alors la courbe de f admet une asymptote verticale d’équation x=a,
  • si \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left[f(x)-(ax+b)\right]=0 ou \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left[f(x)-(ax+b)\right]=0a \in \mathbb{R} et b \in \mathbb{R}, alors la courbe de f admet une asymptote oblique d’équation y=ax+b.

Exemple : soit f définie sur \left]1~;~+\infty\right[ par f(x)=\dfrac12 x +2 +\dfrac{4}{x-1}

cm 2018-12-18 TSTI2D Asymptotes Tableau 1cm 2018-12-18 TSTI2D Asymptotes Tableau 2

Exercices 28 (corrigé dans le livre) et 31 pour jeudi 20 décembre.


Test : 

  • Le sujet : cm 2018-12-18 tsti2d test suites et limites
  • Éléments de correction du 10 janvier au tableau : cm 2019-01-10 correction test tableau 1cm 2019-01-10 correction test tableau 2cm 2019-01-10 correction test tableau 3cm 2019-01-10 correction test tableau 4cm 2019-01-10 correction test tableau 5cm 2019-01-10 correction test tableau 6
    Le code python du problème :

    def probleme():
        n=0
        u=600
        while u<1500:
            n=n+1
            u=1.00226*u+25
        return n,u

    Qui donne

    >>> probleme()
    (33, 1501.9451661521034)

Lire la suite

Graphes eulériens – algorithme d’Euler

  • Correction des exercices page 284 (20 à 24).
  • Reprise de tout le vocabulaire…
    • connexe ou complet ?
    • chaîne ou cycle ?
  • On pousse jusqu’au 29 page 284.
  • Cours : algorithme d’Euler pour déterminer une chaîne eulérienne quand le graphe est eulérien (0 ou 2 sommets exactement de degrés impairs).
  • Exercices 44, 46 page 287 pour lundi 7/1.
  • Le tableau du jour :

Bonne fin d’année et d’ores et déjà belle année 2019 !

Cahier des charges pour le projet et travail par équipes

Suite aux bonds effectués la semaine dernière, on devait tous avoir tout compris sur le code proposé.

Est-ce le cas ? Réponse aux questions.

Certains n’ont pas chômé, et Romain a proposé en commentaires un code qui fonctionne pour la sortie de labyrinthe « la main à droite » :

Cahier des charges pour notre projet, by Léa, chef de projet 😀 :

m 2018-12-14 ICN 1S1-1S2 Léa chef de projet_1