Suites numériques (1)

Plan du cours : Suites

Introduction avec un algorithme
I. Rappels
II. Somme de termes
III. Limites
IV. Exercice type bac


Introduction avec un algorithme : tp 1 page 19

Une version « type bac » de l’algorithme :

\begin{array}{|l|}  \hline  T \longleftarrow ~~?\\  P \longleftarrow 900\\  S \longleftarrow P\\  \text{Pour }k \text{ allant de }1 \text{ a } 12\\  \hspace{0.5cm}\begin{array}{|l}  P \longleftarrow P \times \left(1+\dfrac{T}{100}\right)\\  S \longleftarrow S+P\\  \end{array}\\  \text{Afficher }S\\  \hline  \end{array}

  • P est la production mensuelle.
  • On initialise P à 900, la production existante.
  • On initialise S à 900 aussi, S est le stock.
  • T est le taux d’augmentation de la production mensuelle, en %.
  • On multiplie donc par \left(1 + \dfrac{T}{100}\right).
  • P devient à chaque passage dans la boucle P \times \left(1 + \dfrac{T}{100}\right).
  • S augmente à chaque passage du nouveau P.

Les élèves ont implémenté l’algorithme sur leurs calculatrices.

En python, on écrit

def prod(T):
    P=900
    S=P
    for k in range(1,13):
        P=P*(1+T/100)
        S=S+P
        print(k,P,S)
    return S

On tape prod(8) dans la console et l’algorithme affiche

>>>prod(8)
1 972.0000000000001 1872.0
2 1049.7600000000002 2921.76
3 1133.7408000000003 4055.5008000000007
4 1224.4400640000003 5279.940864000001
5 1322.3952691200004 6602.336133120001
6 1428.1868906496006 8030.523023769601
7 1542.4418419015688 9572.96486567117
8 1665.8371892536943 11238.802054924865
9 1799.10416439399 13037.906219318855
10 1943.0324975455094 14980.938716864364
11 2098.4750973491505 17079.413814213516
12 2266.353105137083 19345.7669193506
19345.7669193506
>>>

Donc un stock de 19346 pièces environ après un an.

On tape prod(9) dans la console et l’algorithme affiche

>>>prod(9)
1 981.0000000000001 1881.0
2 1069.2900000000002 2950.29
3 1165.5261000000003 4115.8161
4 1270.4234490000003 5386.239549
5 1384.7615594100005 6771.001108410001
6 1509.3900997569006 8280.3912081669
7 1645.2352087350216 9925.626416901921
8 1793.3063775211738 11718.932794423095
9 1954.7039514980795 13673.636745921174
10 2130.627307132907 15804.264053054081
11 2322.3837647748687 18126.64781782895
12 2531.398303604607 20658.04612143356
20658.04612143356
>>>

Donc un stock de 20658 pièces environ après un an.

Il faut donc augmenter la production chaque mois de 9% pour pouvoir honorer la commande.

En termes de suites :

  • La suite \left(P_n\right) est géométrique
    • de premier terme \boxed{P_0=900},
    • de raison \boxed{q=1 + \dfrac{T}{100}},
  • On a alors établi :
    • \boxed{P_{n+1}=P_n \times q} (formule de récurrence),
    • \boxed{P_{n}=P_0 \times q^n} (formule explicite).

Exercice 11 page 27 pour jeudi.

N'hésitez-pas à poser une question, ou faire avancer le schmilblick

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l’aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion /  Changer )

Photo Google

Vous commentez à l’aide de votre compte Google. Déconnexion /  Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l’aide de votre compte Twitter. Déconnexion /  Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l’aide de votre compte Facebook. Déconnexion /  Changer )

Connexion à %s

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur la façon dont les données de vos commentaires sont traitées.