TD – calcul intégral

  • Ramassage du DM n°2 pour les EE retardataires et les SIN.
  • Distribution :
  • Exercices de préparation au contrôle de jeudi
    • Ramassage et correction du DM n°2, à l’aide du corrigé ci-dessus.
    • Exercice 32 page 210 (aire avec polynôme),
    • exercice 33 page 211 (avec une fonction trigonométrique),
    • exercice 34 page 211 (sur un intervalle où la fonction change de signe),
  • Le tableau :

  • Pour le 34 page 211, on calcule :
    • \mathcal{A}_1=\displaystyle \int_0^1 \left(\dfrac12 x^3- \dfrac{3}{2} x^2+1\right) \text{d}x=\left[\dfrac12 \times \dfrac{x^4}{4}-\dfrac32 \times \dfrac{x^3}{3}+x\right]_0^1
      \mathcal{A}_1=\left[\dfrac{x^4}{8}-\dfrac{x^3}{2}+x\right]_0^1
      \mathcal{A}_1=\left(\dfrac{1^4}{8}-\dfrac{1^3}{2}+1\right)-\left(\dfrac{0^4}{8}-\dfrac{0^3}{2}+0\right)
      \mathcal{A}_1=\left(\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{2}+1\right)-\left(0-0+0\right)
      \mathcal{A}_1=\dfrac{5}{8}-0
      Donc \boxed{\mathcal{A}_1=\dfrac58=0,625~~u.a.}

    • \displaystyle \int_1^2 \left(\dfrac12 x^3- \dfrac{3}{2} x^2+1\right) \text{d}x
      =\left[\dfrac{x^4}{8}-\dfrac{x^3}{2}+x\right]_1^2
      =\left(\dfrac{2^4}{8}-\dfrac{2^3}{2}+2\right)-\left(\dfrac{1^4}{8}-\dfrac{1^3}{2}+1\right)
      =\left(2-4+2\right)-\dfrac58
      =0-\dfrac{5}{8}
      Donc \boxed{\displaystyle \int_1^2 \left(\dfrac12 x^3- \dfrac{3}{2} x^2+1\right) \text{d}x=-\dfrac58=-0,625.}

    • Cette deuxième intégrale est négative, car la courbe de f est sous l’axe des abscisses sur [1~;~2].
      Mais il faut compter l’aire positivement dans cet exercice : \boxed{\mathcal{A}_2=\dfrac58=0,625~~u.a.}
    • Enfin, l’aire totale :
      \boxed{\mathcal{A}=\mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2=0,625+0,625=1,25~~u.a.}
    • On nous demande l’aire en \text{ cm}^2 et l’unité graphique est 2 cm.
      Donc ici, 1~~u.a.=2 \times 2=4 \text{ cm}^2.
      Donc l’aire est \boxed{\mathcal{A}=1,25 \times 4 = 5  \text{ cm}^2.}

 

  • Jeudi, test :
    • calcul intégral, aires, aire entre deux courbes,
    • variations et signes,
    • second degré.


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